Question

9．漏刻是我國(guó)古代一種用滴水來(lái)計(jì)量時(shí)間的儀器．如圖所示是漏刻的簡(jiǎn)單模型，圖中容器A是底面積為250cm²的圓柱形薄壁玻璃缸，容器頂蓋上有大小兩個(gè)孔；B是用密度為0.7×10³kg/m³塑料制作的邊長(zhǎng)為10cm立方體底托；C為質(zhì)量可忽略不計(jì)、總長(zhǎng)度為120cm的輕質(zhì)塑量標(biāo)尺，標(biāo)尺的一端與底托相連，標(biāo)尺上均勻的刻有厘米刻度；D為固定于容器蓋口處的指示箭頭．某次模擬計(jì)時(shí)實(shí)驗(yàn)中，同學(xué)們先將自來(lái)水龍頭調(diào)至均勻間隙滴水狀態(tài)，并測(cè)得水龍頭每分鐘滴水50滴，并用量筒測(cè)得每50滴水的體積為25.0cm³．再在容器A中加入適量水，將底托B放入水中，使其浮于水面上，此時(shí)標(biāo)尺C呈豎直狀態(tài)且位于大孔下方，指示箭頭D恰好指于標(biāo)尺的頂端零刻度處．此時(shí)開始滴水計(jì)時(shí)，假設(shè)整個(gè)計(jì)時(shí)過(guò)程標(biāo)尺始終處于豎直狀態(tài)，經(jīng)過(guò)1小時(shí)后，問(wèn)：
（1）指示箭頭D應(yīng)指在標(biāo)尺上何處？
（2）此時(shí)標(biāo)尺和底托所受的浮力是多少牛頓？
（3）此裝置最多還能計(jì)時(shí)幾小時(shí)？
（4）若要使此裝置的計(jì)時(shí)總時(shí)間增加一倍，最簡(jiǎn)單的辦法是什么？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)每分鐘滴水50滴，每50滴水的體積為25.0cm³．計(jì)算經(jīng)過(guò)1小時(shí)后容器A增加的水的體積，然后根據(jù)h=$\frac{△V}{S}$求出液面升高的高度即為箭頭D應(yīng)指在標(biāo)尺上的位置；
（2）標(biāo)尺和底托是處于漂浮狀態(tài)的，根據(jù)漂浮的條件可知所受的浮力與重力相等，所以根據(jù)G=mg=ρVg求出標(biāo)尺和底托的重力即可；
（3）根據(jù)輕質(zhì)標(biāo)尺的總長(zhǎng)度和容器A的底面積求出計(jì)時(shí)增加的水的體積，然后根據(jù)每分鐘滴水50滴，每50滴水的體積為25.0cm³求出此裝置最多能計(jì)時(shí)的時(shí)間；
（4）因?yàn)檩p質(zhì)塑料標(biāo)尺總長(zhǎng)度不變，每分鐘滴水增加的水的體積不變，所以根據(jù)t_max=$\frac{△{V}_{max}}{{{V}^{′}}_{0}}$=$\frac{△hS}{{{V}^{′}}_{0}}$分析即可．

解答 解：（1）因?yàn)槊糠昼姷嗡?0滴，每50滴水的體積為25.0cm³．
所以經(jīng)過(guò)1小時(shí)后容器A增加的水的體積為：
△V=25.0cm³/min×1×60min=1500cm³=1.5×10^-3m³．
所以水面升高的高度（標(biāo)尺升高的高度）：
h=$\frac{△V}{S}$=$\frac{1500c{m}^{3}}{250c{m}^{2}}$=6cm，即箭頭D應(yīng)指在標(biāo)尺上的6cm位置；
（2）因?yàn)闃?biāo)尺和底托是處于漂浮狀態(tài)的，且標(biāo)尺C的質(zhì)量可忽略不計(jì)，
所以，根據(jù)漂浮條件可得，此時(shí)標(biāo)尺和底托所受的浮力：
F_浮=G_底托=m_底托g=ρ_塑料V_底托g=ρ_塑料（L_底托）³g=0.7×10³kg/m³×（0.1m）³×9.8N/kg=6.86N；
（3）因標(biāo)尺的總長(zhǎng)度為120cm，
此裝置最多能增加的水的體積為：△V_max=250cm²×120cm=30000cm³，
根據(jù)每分鐘滴水50滴，每50滴水的體積為25.0cm³可知：
此裝置最多能計(jì)時(shí)的時(shí)間為t_max=$\frac{△{V}_{max}}{{{V}^{′}}_{0}}$=$\frac{30000c{m}^{3}}{25c{m}^{3}/min}$=1200min=20h，
所以此裝置最多還能計(jì)時(shí)為△t=t_max-t=20h-1h=19h；
（4）根據(jù)t_max=$\frac{△{V}_{max}}{{{V}^{′}}_{0}}$=$\frac{△hS}{{{V}^{′}}_{0}}$分析可知：此裝置的計(jì)時(shí)總時(shí)間要增加一倍，則應(yīng)將容器A的底面積增加為原來(lái)的二倍．
答：（1）箭頭D應(yīng)指在標(biāo)尺上的6cm位置；
（2）此時(shí)標(biāo)尺和底托所受的浮力是6.86牛頓；
（3）此裝置最多還能計(jì)時(shí)19h；
（4）要使此裝置的計(jì)時(shí)總時(shí)間增加一倍，應(yīng)將容器A的底面積增加為原來(lái)的二倍．

點(diǎn)評(píng) 本題考查物體的浮沉條件和浮力的計(jì)算，關(guān)鍵是明確滴水計(jì)時(shí)器的原理．