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14.如圖,F(xiàn)1,F(xiàn)2為橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),D,E是橢圓的兩個頂點(diǎn),|F1F2|=23,|DE|=5,若點(diǎn)M(x0,y0)在橢圓C上,則點(diǎn)N(x0a,y0)稱為點(diǎn)M的一個“橢點(diǎn)”.直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),A,B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P,Q,已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)試探討△AOB的面積S是否為定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,請說明理由.

分析 (1)由D,E是橢圓的兩個頂點(diǎn),|F1F2|=23,|DE|=5,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則P(x12,y1),Q(x22y2),由OP⊥OQ,即x1x24+y1y2=0,當(dāng)直線AB的斜率不存在時,S=1.當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)其方程為y=kx+m,m≠0,
聯(lián)立{y=kx+mx2+4y2=4,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式能求出△ABC的面積為1.

解答 解:(1)∵F1,F(xiàn)2為橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),
D,E是橢圓的兩個頂點(diǎn),|F1F2|=23,|DE|=5,
{2c=232+a2=5a2=2+c2,解得a=2,b=1,c=3
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則P(x12,y1),Q(x22y2),
由OP⊥OQ,即x1x24+y1y2=0,(*)
①當(dāng)直線AB的斜率不存在時,S=12|x1|×|y1-y2|=1.
②當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)其方程為y=kx+m,m≠0,
聯(lián)立{y=kx+mx2+4y2=4,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
△=16(4k2+1-m2),x1x2=4m244k2+1,
同理,y1y2=m24k24k2+1,代入(*),整理,得4k2+1=2m2,
此時,△=16m2>0,
AB=1+k2|x1-x2|=21+k2|m|,
h=|m|1+k2,∴S=1,
綜上,△ABC的面積為1.

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法,考查三角形面積的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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(1)求橢圓C的方程;
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓上的兩點(diǎn),m=(x1,y1a),n=(x2y2a)且mn,試問:△AOB的面積是否為定值?如果是,求出這個值;如果不是,請說明理由.

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