Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）若，求函數(shù)在上的最小值；

（2）求函數(shù)的極值點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而求出在上的最小值；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，再通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而確定的極值點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，，

則，

當(dāng)時(shí)，，

所以在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，取得最小值，

所以在上的最小值為1.

（2），則，

令，

①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)，

所以在上單調(diào)遞增，

此時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，

當(dāng)，即時(shí)，

在上恒成立，

此時(shí)，

所以在上單調(diào)遞增，

此時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)或時(shí)，

，即；

所以當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；是函數(shù)的極小值點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；

是函數(shù)的極小值點(diǎn).