Question

如圖，以橢圓

x2

a2

+y2=1的右焦點F₂為圓心，1-c為半徑作圓F₂（其中c為已知橢圓的半焦距），過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T．
（Ⅰ）若a=

5

4

，P為橢圓的右頂點，求切線長|PT|；
（Ⅱ）設圓F₂與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若OA⊥OB，且|PT|≥

3

2

（a-c）恒成立，求直線l被圓F₂所截得弦長的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的簡單性質,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）通過a=

5

4

，求出c，得到橢圓的方程，P為橢圓的右頂點，利用勾股定理直接求切線長|PT|；
（Ⅱ）當|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，|PF₂|_min=a-c，通過|PT|≥

3

2

(a-c)恒成立，求出

3

4

≤c＜1，然后得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通過韋達定理以及OA⊥OB，可得直線l的方程，通過圓心F₂（c，0）到直線l的距離，半徑，弦長滿足勾股定理，然后求解s的最大值．

解答： （本題滿分15分）
解：（I）由a=

5

4

得c=

3

4

，…（1分）
則當P為橢圓的右頂點時|PF2|=a-c=

1

2

，
故此時的切線長|PT|=

|PF2|2-(1-c)2

=

3

4

…（5分）
（Ⅱ）當|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，而|PF₂|_min=a-c，
由|PT|≥

3

2

(a-c)恒成立，得

(a-c)2-(1-c)2

≥

3

2

(a-c)，則

3

4

≤c＜1…（7分）
由題意Q點的坐標為（1，0），則直線l的方程為y=k（x-1），代入

x2

a2

+y2=1

得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x1+x2=

2a2k2

a2k2+1

，x1x2=

a2k2-a2

a2k2+1

，…（9分）
可得y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=

k2(1-a2)

a2k2+1

，
又OA⊥OB，則x1x2+y1y2=

k2-a2

a2k2+1

=0⇒k=a
可得直線l的方程為ax-y-a=0，…（11分）
圓心F₂（c，0）到直線l的距離d=

|ac-a|

a2+1

，半徑r=1-c
則直線l被圓F₂所截得弦長s=2

(1-c)2- a2(1-c)2 a2+1

=

2(1-c)

c2+2

，…（13分）
設1-c=t，則0＜t≤

1

4

，
又

1

s

=

1

2

3 t2 - 2 t +1

=

1

2

3( 1 t - 1 3 )2+ 2 3

則當t=

1

4

時

1

s

的最小值為

41

2

，
即當c=

3

4

時s的最大值為

2 41

41

…（15分）

點評：本題考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系的應用，切線方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．