Question

4．已知tanα=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，α是第二象限角
（1）求α的其它三角函數(shù)的值；
（2）求$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$的值．

Answer 1

分析 （1）方法一：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可求出sinα、cosα的值；
方法二：根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，也可求出sinα、cosα的值；
（2）把正弦、余弦化為正切函數(shù)，代入求值即可．

解答 解：（1）方法一：tanα=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，α是第二象限角，
∴α=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z，
∴sinα=sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{1}{2}$，
cosα=cos$\frac{5π}{6}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
方法二：tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴sinα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosα，
∴sin²α+cos²α=$\frac{1}{3}$cos²α+cos²α=$\frac{4}{3}$cos²α=1，
解得cosα=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又α是第二象限角，
∴cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
sinα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{1}{2}$；
（2）tanα=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{sinα+cosα}{sinα-cosα}$=$\frac{\frac{sinα}{cosα}+1}{\frac{sinα}{cosα}-1}$=$\frac{tanα+1}{tanα-1}$
=$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{-\frac{\sqrt{3}}{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}+3}$
=$\frac{{（\sqrt{3}-3）}^{2}}{3-9}$=-2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系與應(yīng)用問(wèn)題，是計(jì)算題．