Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n，a_n的等差中項(xiàng)為1．
（Ⅰ） 寫出a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （I）依次把n=1，2，3代入S_n+a_n=2計(jì)算即可；
（II）先驗(yàn)證n=1，再假設(shè)n=k猜想成立，推導(dǎo)n=k+1成立即可．

解答 解：（I）由題意S_n+a_n=2，
∴a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，a₃=$\frac{1}{4}$．
（II）猜想：a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，$\frac{1}{{2}^{1-1}}$=$\frac{1}{{2}^{0}}$=1，猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即a_k=$\frac{1}{{2}^{k-1}}$，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，由S_k+1+a_k+1=2，S_k+a_k=2，
得（S_k+1-S_k）+a_k+1-a_k=0，
即2a_k+1=a_k，
∴a_k+1=$\frac{1}{2}$a_k=$\frac{1}{{2}^{k}}$，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，
∴對(duì)于任意n∈N₊，a_n=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于基礎(chǔ)題．