Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，r為大于零的常數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²-8ρsinθ+15=0．
（Ⅰ）若曲線C₁與C₂有公共點(diǎn)，求r的取值范圍；
（Ⅱ）若r=1，過曲線上C₁任意一點(diǎn)P作曲線C₂的切線，切于點(diǎn)Q，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁消去參數(shù)r，求出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程，由曲線C₂的極坐標(biāo)方程求出曲線C₂的直角坐標(biāo)方程，若C₁與C₂有公共點(diǎn)，則r-1≤|C₁C₂|≤r+1，由此能求出r的取值范圍．
（Ⅱ）設(shè)P（cosα，sinα），由|PQ|²=|PC₂|²-|C₂Q|²=|PC₂|²-1，得|PQ|²=cos²α+（sinα-4）²-1=16-8sinα≤16+8=24，由此能求出|PQ|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)，r為大于零的常數(shù)），
∴消去參數(shù)r，得曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=r²（r＞0），
∵曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ²-8ρsinθ+15=0，
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-4）²=1．
若C₁與C₂有公共點(diǎn)，則r-1≤$\sqrt{（0-0）^{2}+（4-0）^{2}}$≤r+1，
解得3≤r≤5，故r的取值范圍是[3，5]．
（Ⅱ）設(shè)P（cosα，sinα），由|PQ|²=|PC₂|²-|C₂Q|²=|PC₂|²-1，
得|PQ|²=cos²α+（sinα-4）²-1=16-8sinα≤16+8=24，
當(dāng)且僅當(dāng)sinα=-1時(shí)取最大值，故|PQ|的最大值為2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題考查考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化、兩圓相交、兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．