Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
10.如圖1,在高為2的梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=5,過(guò)A、B分別作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分別為E、F.已知DE=1,將梯形ABCD沿AE、BF同側(cè)折起,得空間幾何體ADE-BCF,如圖2.
(Ⅰ)若AF⊥BD,證明:△BDE為直角三角形;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若DE∥CF,求三棱錐B-ACD的體積.

分析 (Ⅰ)由已知得四邊形ABEF是正方形,且邊長(zhǎng)為2,取BE與AF的交點(diǎn)為O,推導(dǎo)出AF⊥BE,AF⊥BD,從而AF⊥平面BDE,進(jìn)而AF⊥DE,再由AE⊥DE,得DE⊥平面ABEF,從而DE⊥BE,由此能證明△BDE為直角三角形.
(Ⅱ)取AC中點(diǎn)G,連結(jié)OG、DG,由三棱錐B-ACD的體積VB-ACD=VE-ACD,VE-ACD=VA-CDE,由此能求出三棱錐B-ACD的體積.

解答 證明:(Ⅰ)由已知得四邊形ABEF是正方形,且邊長(zhǎng)為2,
在圖2中,取BE與AF的交點(diǎn)為O,則AF⊥BE,
由已知得AF⊥BD,BE∩BD=B,∴AF⊥平面BDE,
又DE?平面BDE,∴AF⊥DE,
又AE⊥DE,AE∩AF=A,∴DE⊥平面ABEF,
又BE?平面ABEF,∴DE⊥BE,
∴△BDE為直角三角形.
解:(Ⅱ)如圖,取AC中點(diǎn)G,連結(jié)OG、DG,
則OG=12CF,由已知得DE=12CF,
∴OG=DE,則四邊形DEOG為平行四邊形,∴OE∥GD,即BE∥GD,
又BE?平面ACD,GD?平面ACD,∴BE∥平面ACD,
故三棱錐B-ACD的體積VB-ACD=VE-ACD
∵AE⊥DE,AE⊥EF,∴AE⊥平面CDEF,即AE⊥平面CDE,
∴AE為三棱錐A-CDE的高,
∴VE-ACD=VA-CDE=13×SCDE×AE=13×SDEF×AE,
SDEF=12×DE×EF=12×1×2=1,
VACDE=13×1×2=23,
∴三棱錐B-ACD的體積為23

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形為直角三角形的證明,考查幾何體的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=3an+2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=an?log3(an+1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.在△ABC中,∠C=90°,BC=23,AC=2,M為AB中點(diǎn),將△ACM沿CM折起,使A、B之間的距離為22,則三棱錐M-ABC的體積為223

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

18.等邊三角形ABC中,若AP=λAB+AC,則當(dāng)PBPC取得最小值時(shí),λ=( �。�
A.14B.12C.23D.1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子,其4個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,記每次拋擲朝下一面的數(shù)字中較大者為a(若兩數(shù)相等,則取該數(shù)),平均數(shù)為b,則事件“a-b=1”發(fā)生的概率為( �。�
A.13B.14C.16D.38

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

15.已知函數(shù)fx=4sin2π4+x23cos2x1,且給定條件p:“π4xπ2”,條件q:“|f(x)-m|<2”,若p是q的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  )
A.(3,5)B.[3,5]C.(2,4)D.[2,4]

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

2.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(-x),且當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)+xf'(x)<0成立,若a=(20.6)•f(20.6),b=(ln2)•f(ln2),c=(log218)•f(log218),則a,b,c的大小關(guān)系是( �。�
A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

19.設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex-1)-ax2(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若a=12,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在(-1,0)內(nèi)無(wú)極值,求a的取值范圍;
(3)設(shè)n∈N*,x>0,求證:ex1+x1!+x22!++xnn!

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,且F2也是拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn),P為橢圓C與拋物線E在第一象限的交點(diǎn),且|PF2|=53
(1)求橢圓C的方程;
(2)若四邊形F1PF2Q是平行四邊形,直線l∥PQ,與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),且滿足條件OA⊥OB,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案
闂傚倸鍊搁崐鐑芥嚄閼哥數浠氬┑掳鍊楁慨瀵告崲濮椻偓閻涱喛绠涘☉娆愭闂佽法鍣﹂幏锟� 闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾捐鈹戦悩鍙夋悙缂佺媭鍨堕弻銊╂偆閸屾稑顏�