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10.如圖1,在高為2的梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=5,過A、B分別作AE⊥CD,BF⊥CD,垂足分別為E、F.已知DE=1,將梯形ABCD沿AE、BF同側(cè)折起,得空間幾何體ADE-BCF,如圖2.
(Ⅰ)若AF⊥BD,證明:△BDE為直角三角形;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若DE∥CF,求三棱錐B-ACD的體積.

分析 (Ⅰ)由已知得四邊形ABEF是正方形,且邊長(zhǎng)為2,取BE與AF的交點(diǎn)為O,推導(dǎo)出AF⊥BE,AF⊥BD,從而AF⊥平面BDE,進(jìn)而AF⊥DE,再由AE⊥DE,得DE⊥平面ABEF,從而DE⊥BE,由此能證明△BDE為直角三角形.
(Ⅱ)取AC中點(diǎn)G,連結(jié)OG、DG,由三棱錐B-ACD的體積VB-ACD=VE-ACD,VE-ACD=VA-CDE,由此能求出三棱錐B-ACD的體積.

解答 證明:(Ⅰ)由已知得四邊形ABEF是正方形,且邊長(zhǎng)為2,
在圖2中,取BE與AF的交點(diǎn)為O,則AF⊥BE,
由已知得AF⊥BD,BE∩BD=B,∴AF⊥平面BDE,
又DE?平面BDE,∴AF⊥DE,
又AE⊥DE,AE∩AF=A,∴DE⊥平面ABEF,
又BE?平面ABEF,∴DE⊥BE,
∴△BDE為直角三角形.
解:(Ⅱ)如圖,取AC中點(diǎn)G,連結(jié)OG、DG,
則OG=12CF,由已知得DE=12CF,
∴OG=DE,則四邊形DEOG為平行四邊形,∴OE∥GD,即BE∥GD,
又BE?平面ACD,GD?平面ACD,∴BE∥平面ACD,
故三棱錐B-ACD的體積VB-ACD=VE-ACD,
∵AE⊥DE,AE⊥EF,∴AE⊥平面CDEF,即AE⊥平面CDE,
∴AE為三棱錐A-CDE的高,
∴VE-ACD=VA-CDE=13×SCDE×AE=13×SDEF×AE,
SDEF=12×DE×EF=12×1×2=1,
VACDE=13×1×2=23,
∴三棱錐B-ACD的體積為23

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形為直角三角形的證明,考查幾何體的體積的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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