Question

10．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，四邊形AEFG為邊長(zhǎng)為2的正方形，現(xiàn)將矩形ABCD沿過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l翻折的點(diǎn)C在平面AEFG上的射影C₁落在直線(xiàn)AB上，若點(diǎn)C在抓痕l上的射影為C₂，則$\frac{{C}_{1}{C}_{2}}{C{C}_{2}}$的最小值為（　�。�

• A． 6$\sqrt{5}$-13
• B． $\sqrt{5}$-2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由題意，以AB所在直線(xiàn)為x軸，AD所在直線(xiàn)為y軸，建立坐標(biāo)系，表示出$\frac{{C}_{1}{C}_{2}}{C{C}_{2}}$，利用基本不等式求最小值．

解答 解：由題意，以AB所在直線(xiàn)為x軸，AD所在直線(xiàn)為y軸，建立坐標(biāo)系，則直線(xiàn)l的方程：y=kx-2k+2，CC₂=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
直線(xiàn)CC₂的方程為y=-$\frac{1}{k}$x+$\frac{4}{k}$+6，∴C₁（4+6k，0），∴CC₁=6$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴C₁C₂=CC₂-CC₁=6$\sqrt{{k}^{2}+1}$-$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
∴$\frac{{C}_{1}{C}_{2}}{C{C}_{2}}$=$\frac{6（{k}^{2}+1）}{|2k-4|}$-1．
令|k-2|=t，∴k=t+2或2-t．
①k=t+2，$\frac{{C}_{1}{C}_{2}}{C{C}_{2}}$=3（t+$\frac{5}{t}$+4）-1≥6$\sqrt{5}$+11，t=$\sqrt{5}$時(shí)，取等號(hào)；
②k=2-t，$\frac{{C}_{1}{C}_{2}}{C{C}_{2}}$=3（t+$\frac{5}{t}$-4）-1≥6$\sqrt{5}$-13，t=$\sqrt{5}$時(shí)，取等號(hào)；
綜上所述，$\frac{{C}_{1}{C}_{2}}{C{C}_{2}}$的最小值為6$\sqrt{5}$-13，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間點(diǎn)、線(xiàn)、面距離的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)算，難度大．