Question

20．如圖，矩形ACEF和等邊三角形ABC中，AC=2，CE=1，平面ABC⊥平面ACEF．M是線段EF上的一個動點．
（1）若BM⊥AC，確定M的位置，并說明理由；
（2）求三棱錐C-ABM的體積．

Answer 1

分析 （1）M為線段EF的中點，證明：分別取AC、EF的中點O、M，連接OM，證明AC⊥BO，AC⊥OM，推出AC⊥面BOM，得到BM⊥AC；
（2）利用${V_{C-ABM}}={V_{B-ACM}}=\frac{1}{3}{S_{△ACM}}h$，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 j解：（1）證明：M為線段EF的中點，理由如下：
分別取AC、EF的中點O、M，連接OM，
在等邊三角形ABC中，AC⊥BO，又OM為矩形ACEF的中位線，AC⊥OM，而OM∩OB=O，
所以AC⊥面BOM，所以BM⊥AC；
（2）由題${V_{C-ABM}}={V_{B-ACM}}=\frac{1}{3}{S_{△ACM}}h$，
由（1）和三角形ABC為等邊三角形得O為AC的中點，
∴BO為三棱錐B-ACM的高h，
于是$h=\sqrt{3}$，
又∵無論M是EF上的何點，M到AC的距離不變，即為三角形ACM底邊AC的高，
∴${S_{△ACM}}=\frac{1}{2}×2×1=1$，
∴${V_{C-ABM}}={V_{B-ACM}}=\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查集合體的體積的求法，直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)的應用，考查空間想象能力以及計算能力．