Question

12．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點(diǎn)F（1，0）和直線l：x=4，圓C與直線l相切，并且圓心C關(guān)于點(diǎn)F的對(duì)稱點(diǎn)在圓C上，直線l與x軸相交于點(diǎn)P．
（Ⅰ）求圓心C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F且與直線l不垂直的直線m與圓心C的軌跡E相交于點(diǎn)A、B，求△PAB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)圓心C（x，y），由圓心C到點(diǎn)F的距離等于它到直線l距離的一半，利用兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，能求出圓心C的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+1，由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\\ x=my+1\end{array}\right.得，（3{m}^{2}+4）{y}^{2}+6my-9=0$，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出△PAB面積的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)圓心C（x，y），
則圓心C到點(diǎn)F的距離等于它到直線l距離的一半…（1分）
∴$\sqrt{{（x-1）}^{2}+{y}^{2}}=\frac{1}{2}|4-x|$…（3分）
化簡(jiǎn)得，圓心C的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+1…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\\ x=my+1\end{array}\right.得，（3{m}^{2}+4）{y}^{2}+6my-9=0$…（7分）
△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$…（8分）
$\left|{y}_{1}-{y}_{2}\right|=\sqrt{{（{y}_{1}+{y}_{2}）}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}=12\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{9{m}^{4}+24{m}^{2}+16}}$…（9分）
△PAB的面積$S=\frac{1}{2}×\left|{y}_{1}-{y}_{2}\right|×PF=18\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{9{m}^{4}+24{m}^{2}+16}}$…（10分）
設(shè)t=m²+1≥1，則$\frac{{m}^{2}+1}{9{m}^{4}+24{m}^{2}+16}=\frac{t}{{（3t+1）}^{2}}=\frac{1}{9t+\frac{1}{t}+6}$，
設(shè)$f（t）=9t+\frac{1}{t}+6$${f}^{/}（t）=9-\frac{1}{{t}^{2}}＞0$，
f（t）單調(diào)遞增，f（t）≥f（1）=16…（11分）
所以$S≤18\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{9}{2}$，△PAB面積的取值范圍為$（0，\frac{9}{2}]$ …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓心的軌跡方程的求法，考查三角形的面積的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．