Question

14．在三棱錐P-ACD中，AD⊥CD，AD=CD=2，△PAD為正角形，點F是棱PD的中點，且平面PAD⊥平面ACD．
（1）求證；AF⊥平面PCD；
（2）求二面角P-AC-F的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推導出AF⊥PD，AD⊥CD，AF⊥CD，由此能證明AF⊥平面PCD．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ADC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P-AC-F的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵△PAD為正角形，點F是棱PD的中點，∴AF⊥PD，
∵AD⊥CD，平面PAD⊥平面ACD，平面PAD∩平面ACD=AD，
∴CD⊥平面APD，
∵AF?平面APD，∴AF⊥CD，
∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD．
解：（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，過D作平面ADC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
A（2，0，0），C（0，2，0），P（1，0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AF}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設平面ACP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（3，3，$\sqrt{3}$），
設平面ACF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-2a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AF}=-\frac{3}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.$，取c=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，$\sqrt{3}$），
設二面角P-AC-F的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{9}{\sqrt{21}•\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{105}}{35}$．
∴二面角P-AC-F的平面角的余弦值為$\frac{3\sqrt{105}}{35}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．