Question

17．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知sin（$\frac{7π}{6}$-B-C）-2cosA=0．
（1）求A的大�。�
（2）若sinC-2sinB=0，且△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式、和差化積即可得出A；
（2）sinC-2sinB=0，由正弦定理可得：c=2b．利用余弦定理可得：a²=3b²，可得c²=a²+b²，因此△ABC是以c為直角邊的直角三角形，利用面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）∵$sin（\frac{7π}{6}-B-C）-2cosA=sin（\frac{π}{6}+A）-2cosA=\sqrt{3}sin（A-\frac{π}{3}）=0$，
A∈（0，π），
∴A-$\frac{π}{3}$=0，解得$A=\frac{π}{3}$．
（2）∵sinC-2sinB=0，由正弦定理可得：c=2b．
由余弦定理可得：a²=$^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{3}$=b²+4b²-2b²=3b²，
∴c²=a²+b²，
∴△ABC是以c為直角邊的直角三角形，
∴△ABC的面積${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}a\frac{{\sqrt{3}}}{3}a=\frac{{\sqrt{3}}}{6}{a^2}=2\sqrt{3}$，
解得$a=2\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、誘導(dǎo)公式、和差化積、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．