Question

【題目】如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，分別是的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中：①與平行；②與為異面直線；③與成60°角；④與垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：正四面體的平面展開(kāi)圖復(fù)原為正四面體A（B、C）﹣DEF，

①，依題意，MN∥AF，而DE與AF異面，從而可判斷DE與MN不平行；

②，假設(shè)BD與MN共面，可得A、D、E、F四點(diǎn)共面，導(dǎo)出矛盾，從而可否定假設(shè)，肯定BD與MN為異面直線；

③，依題意知，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，于是可判斷GH與MN成60°角；

④，連接GF，那么A點(diǎn)在平面DEF的射影肯定在GF上，通過(guò)線面垂直得到線線垂直．

詳解：將正四面體的平面展開(kāi)圖復(fù)原為正四面體A（B、C）﹣DEF，如圖：

對(duì)于①，M、N分別為EF、AE的中點(diǎn)，則MN∥AF，而DE與AF異面，故DE與MN不平行，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，BD與MN為異面直線，正確（假設(shè)BD與MN共面，則A、D、E、F四點(diǎn)共面，與ADEF為正四面體矛盾，故假設(shè)不成立，故BD與MN異面）；

對(duì)于③，依題意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF=60°，故GH與MN成60°角，故③正確；

對(duì)于④，連接GF，A點(diǎn)在平面DEF的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，

而AF∥MN，∴DE與MN垂直，故④正確．

綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③④，

故答案為：②③④．