Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（2-a^x）在（-∞，1]上單調遞減，則a的取值范圍是（　�。�

• A、1＜a＜2
• B、0＜a＜1
• C、0＜a＜1或1＜a＜2
• D、0＜a＜1或a＞2

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：題目給出的函數(shù)是復合函數(shù)，外層函數(shù)對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，要使復合函數(shù)在（-∞，1]調遞減，需要內層函數(shù)在（-∞，1]上單調遞減，可知a＞1，同時保證在x=1時，2-a^x大于等于0，由此列不等式組求解a的取值范圍．

解答： 解：令t=2-a^x，則原函數(shù)化為g（t）=log₂t，
外層函數(shù)g（t）=log₂t為增函數(shù)，
要使復合函數(shù)f（x）=log₂（2-a^x）（-∞，1]上單調遞減，
則內層函數(shù)t=2-a^x在（-∞，1）上單調遞減，且
t=2-a^x在（-∞，1）上大于0恒成立．
∴

a＞1 2-a＞0

，
解得：1＜a＜2．
∴a的取值范圍是（1，2）
故選：A

點評：本題考查了復合函數(shù)的單調性，考查了數(shù)學轉化思想方法，因內層函數(shù)為減函數(shù)，此題是中檔題．