Question

設點F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是橢圓C：

x2

a2

+y2=1（a＞1）的左、右焦點，P為橢圓C上任意一點，且

PF1

•

PF2

的最小值為0．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F₁M⊥l，F(xiàn)₂N⊥l，求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用

PF1

•

PF2

的最小值為0，可得

PF1

•

PF2

=x²+y²-c²=

a2-1

a2

x²+1-c²，x∈[-a，a]，即可求橢圓C的方程；
（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程中，得到關于x的一元二次方程，由直線l與橢圓C僅有一個公共點知，△=0，即可得到m，k的關系式，利用點到直線的距離公式即可得到d₁=|F₁M|，d₂=|F₂N|．當k≠0時，設直線l的傾斜角為θ，則|d₁-d₂|=|MN|×|tanθ|，即可得到四邊形F₁MNF₂面積S的表達式，利用基本不等式的性質，結合當k=0時，四邊形F₁MNF₂是矩形，即可得出S的最大值．

解答： 解：（1）設P（x，y），則

F1P

=（x+c，y），

F2P

=（x-c，y），
∴

PF1

•

PF2

=x²+y²-c²=

a2-1

a2

x²+1-c²，x∈[-a，a]，
由題意得，1-c²=0⇒c=1⇒a²=2，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；  
（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程x²+2y²=2中，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．                
由直線l與橢圓C僅有一個公共點知，△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-2）=0，
化簡得：m²=2k²+1．                          
設d₁=|F₁M|=

|-k+m|

k2+1

，d₂=|F₂N|=

|k+m|

k2+1

，
當k≠0時，設直線l的傾斜角為θ，
則|d₁-d₂|=|MN|×|tanθ|，
∴|MN|=

1

|k|

•|d₁-d₂|，
∴S=

1

2

•

1

|k|

•d₁-d₂|•（d₁+d₂）=

2|m|

k2+1

=

4|m|

m2+1

=

4

|m|+ 1 |m|

，
∵m²=2k²+1，∴當k≠0時，|m|＞1，|m|+

1

|m|

＞2，
∴S＜2．
當k=0時，四邊形F₁MNF₂是矩形，S=2．   
所以四邊形F₁MNF₂面積S的最大值為2．

點評：本題主要考查橢圓的方程與性質、直線方程、直線與橢圓的位置關系、向量知識、二次函數(shù)的單調性、基本不等式的性質等基礎知識，考查運算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結合、化歸與轉化思想．