Question

20．設函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^3}-{x^2}，x＞0\\ ax{e^x}，x≤0\end{array}\right.$，其中a＞0．
（1）若直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象在（0，2]上只有一個交點，求m的取值范圍；
（2）若f（x）≥-a對x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數(shù)，當x＞0時，f'（x）=3x²-2x，判斷函數(shù)的單調性以及函數(shù)的極值，推出m的范圍．
（2）當x≤0時，求出函數(shù)的導函數(shù)f'（x）=a（x+1）e^x，通過a＜0，求解函數(shù)的單調性以及極值，推出a＞0，利用函數(shù)的極值推出a的范圍．

解答 解：（1）當x＞0時，f'（x）=3x²-2x，
令f'（x）=0時得$x=\frac{2}{3}$；令f'（x）＞0得$x＞\frac{2}{3}，f（x）$遞增；
令f'（x）＜0得0$＜x＜\frac{2}{3}$，f（x）遞減，
∴f（x）在$x=\frac{2}{3}$處取得極小值，且極小值為$f（{\frac{2}{3}}）=-\frac{4}{27}$，
∵f（0）=0，f（2）=4，
所以由數(shù)形結合可得0≤m≤4或$m=-\frac{4}{27}$．
（2）當x≤0時，f'（x）=a（x+1）e^x，a＜0，令f'（x）=0得x=-1；令f'（x）＞0得-1＜x≤0，f（x）遞增；
令f'（x）＜0得x＜-1，f（x）遞減．∴f（x）在x=-1處取得極小值，且極小值為$f（{-1}）=-\frac{a}{e}$．
∴a＞0，∴$-\frac{a}{e}＜0$，因為當$-\frac{a}{e}≥-\frac{4}{27}$即$0＜a≤\frac{4}{27}e$時，$f{（x）_{min}}=f（{\frac{2}{3}}）=-\frac{4}{27}$，∴$-a≤-\frac{4}{27}$，∴$\frac{4}{27}≤a≤\frac{4}{27}e$．
當$-\frac{a}{e}＜-\frac{4}{27}$即$a＞\frac{4}{27}e$時，$f{（x）_{min}}=f（{-1}）=-\frac{a}{e}$，∴$-a≤-\frac{a}{e}$，即a≥0，∴$a＞\frac{4}{27}e$．
綜上，$a∈[{\frac{4}{27}，+∞}）$．

點評 本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調性以及函數(shù)的極值，考查轉化思想以及分析問題解決問題的能力．