Question

已知f（x）=

a+x2+2x，(x＜0) f(x-1)，(x≥0)

，且函數(shù)y=f（x）+x恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，1]
• B、（0，1]
• C、（-∞，0]
• D、（-∞，2]

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先根據(jù)當(dāng)x≥0時，f（x）=f（x-1），可得當(dāng)x≥0時，f（x）在[-1，0）重復(fù)的周期函數(shù)，再根據(jù)x∈[-1，0）時，y=a+x²+2x=-1+a+（x+1）²，對稱軸x=-1，頂點（-1，-1+a），進而可進行分類：（1）如果a＞1，函數(shù)y=f（x）-x至多有2個不同的零點；（2）如果a=1，則y有一個零點在區(qū)間（-1，0），有一個零點在（-∞，-1），一個零點是原點；（3）如果a＜1，則有一個零點在（-∞，-1），y右邊有兩個零點，故可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：因為當(dāng)x≥0時，f（x）=f（x-1），所以所有大于等于0的x代入得到的f（x）
相當(dāng)于在[-1，0）重復(fù)的周期函數(shù)，
x∈[-1，0）時，y=a+x²+2x=-1+a+（x+1）²，對稱軸x=-1，頂點（-1，-1+a）
（1）如果a＞1，函數(shù)y=f（x）+x至多有2個不同的零點；
（2）如果a=1，則y有一個零點在區(qū)間（-1，0），有一個零點在（-∞，-1），一個零點是原點；
（3）如果a＜1，則有一個零點在（-∞，-1），y軸右邊有兩個零點，
故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1]．
故選A．

點評：本題重點考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查函數(shù)的周期性，有一定的難度．