Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y²=2x相交于A，B兩點．
（1）求證：“如果直線l過點（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命題．
（2）寫出（1）中命題的逆命題（直線l與拋物線y²=2x相交于A，B兩點為大前提），判斷它是真命題還是假命題，如果是真命題，寫出證明過程；如果是假命題，則只需要舉出一個反例說明即可．

Answer 1

考點：四種命題

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程,簡易邏輯

分析：（1）點A，B在拋物線y²=2x上，所以可設點A（

y12

2

，y1），B（

y22

2

，y2），而直線l的斜率分存在和不存在兩種情況，不存在時可求出A，B的坐標，并容易得到

OA

•

OB

=3．當存在斜率時，因為直線l與拋物線有兩個交點，所以k≠0，并設直線方程為y=k（x-3），聯(lián)立拋物線方程便可得到：ky²-2y-6k=0，根據(jù)韋達定理便可求出y₁y₂=-6，而

OA

•

OB

=

y12y22

4

+y1y2=3，這樣便得到該命題是真命題；
（2）逆命題為：若

OA

•

OB

=3，則直線l過點（3，0），根據(jù)（1）知

OA

•

OB

=

y12y22

4

+y1y2=3，這樣可解出y₁y₂=2，或-6，所以可取y₁=1，y₂=2，這樣可寫出A，B的坐標，從而求出l的方程，容易判斷點（3，0）不滿足該方程，所以說明該逆命題為假命題．

解答： 解：（1）證明：設A(

y12

2

，y1)，B(

y22

2

，y2)；
①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=3，此時，A（3，

6

），B（3，-

6

），∴

OA

•

OB

=3；
②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-3），k≠0；
由

y2=2x y=k(x-3)

得ky²-2y-6k=0，則y₁y₂=-6；
∴

y12

2

•

y22

2

=9，∴

OA

•

OB

=3；
綜上，“如果直線l過點（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命題；
（2）由題可知，（1）中命題的逆命題是：“直線l交拋物線y²=2x于A，B兩點，如果

OA

•

OB

=3，那么直線l過點（3，0）”；
該命題是個假命題，說明如下：
設A（

y12

2

，y1），B（

y22

2

），則有

y12y22

4

+y1y2=3，所以解得y₁y₂=2，或-6；
所以取y₁=1，y₂=2，則A（

1

2

，1），B（2，2），∴直線AB的方程為：y=

2

3

x+

2

3

，顯然（3，0）不在該直線上；
∴（1）中命題的逆命題是假命題．

點評：考查拋物線的標準方程，直線的點斜式方程，韋達定理，以及向量數(shù)量積的坐標運算，由兩點的坐標求直線的斜率．