Question

求證下列等式成立

n

R=1

R2=

n(n+1)(2n+1)

6

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，我們先判斷n=1時(shí)成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時(shí)，立即可得到所有的正整數(shù)n都成立

解答： 證明：∵

n

R=1

R2=

n(n+1)(2n+1)

6

，
即1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

，
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=

(1+1)×(2+1)

6

，即原式成立，
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，原式成立，即1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

6

+（k+1）²=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

，即原式成立，
根據(jù)（1）和（2）可知等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立，
∴1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．
即

n

R=1

R2=

n(n+1)(2n+1)

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的步驟：①證明n=1時(shí)A式成立②然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，A式成立③證明當(dāng)n=k+1時(shí)，A式也成立④下緒論：A式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立．