Question

構(gòu)造如圖所示的數(shù)表，規(guī)則如下：先排兩個l作為第一層，然后在每一層的相鄰兩個數(shù)之間插入這兩個數(shù)和的a倍得下一層，其中a∈（0，

1

3

），設(shè)第n層中有a_n個數(shù)，這a_n個數(shù)的和為S_n（n∈N^*）．
（I）求a_n；
（Ⅱ）證明：

n

2

≤

a1-1

S1

+

a2-1

S2

+…+

an-1

Sn

＜(

2

a+1

)n-1．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）確定a_n+1-1=2（a_n-1），再求a_n；
（Ⅱ）先求S_n，再令bn=

an-1

Sn

，證b_n為單調(diào)增數(shù)列，從而證明

a1-1

S1

+

a2-1

S2

+…+

an-1

Sn

≥n(

a1-1

S1

)=

n

2

，對于正數(shù)x，y，由二項式定理

xn+yn

2

=

( x+y 2 + x-y 2 )n+( x+y 2 - x-y 2 )n

2

≥(

x+y

2

)n，即可證明右邊成立．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得a₁=2，a_n+1=a_n+（a_n-1）=2a_n-1，∴a_n+1-1=2（a_n-1），
則an-1=(a1-1)•2n-1，得an=2n-1+1…（4分）
（Ⅱ）先求S_n，同（Ⅰ），S₁=2，S_n+1=S_n+2aS_n-2a=（2a+1）S_n-2a⇒Sn+1-1=(2a+1)(Sn-1)⇒Sn-1=(2a+1)n-1⇒Sn=(2a+1)n-1+1
令bn=

an-1

Sn

，則b_n=

2n-1

(2a+1)n-1+1

，
下證b_n為單調(diào)增數(shù)列：只需證b_n＜b_n+1?

2n-1

(2a+1)n-1+1

＜

2n

(2a+1)n+1

?2（2a+1）^n-1+2＞（2a+1）ⁿ+1?2(2a+1)n-1＞(2a+1)n?2＞2a+1?a＜

1

2

所以

a1-1

S1

+

a2-1

S2

+…+

an-1

Sn

≥n(

a1-1

S1

)=

n

2

又對于正數(shù)x，y，由二項式定理

xn+yn

2

=

( x+y 2 + x-y 2 )n+( x+y 2 - x-y 2 )n

2

≥(

x+y

2

)n
所以bn=

2n-1

(2a+1)n-1+1

=

1

( 2a+1 2 )n-1+( 1 2 )n-1

≤

1

2

(

2

2a+1 2 + 1 2

)n-1=

1

2

(

2

a+1

)n-1

a1-1

S1

+

a2-1

S2

+…+

an-1

Sn

≤

1

2

×

1-( 2 a+1 )n

1- 2 a+1

=

1

2

•

1+a

1-a

[(

2

a+1

)n-1]
又因為a＜

1

3

，所以

1+a

1-a

＜2，所以

a1-1

S1

+

a2-1

S2

+…+

an-1

Sn

＜(

2

a+1

)n-1…（12分）

點評：本題考查利用數(shù)表研究數(shù)列的通項，考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．