Question

已知{a_n}為等差數列，且a₃=5，a₇=2a₄-1．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式及其前n項和S_n；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足b1+4b2+9b3+…+n2bn=an求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等差數列的首項和公差分別為a₁，d，由題意可得關于它們的方程組，解方程組代入通項公式和求和公式可得；
（Ⅱ）由題意可得當n≥2時，b1+4b2+9b3+…+(n-1)2bn-1=an-1，和已知式子相減可得當n≥2時的不等式，驗證n=1時可得其通項公式．

解答：解：（Ⅰ）設等差數列的首項和公差分別為a₁，d，
則

a3=a1+2d=5 a7=a1+6d=2a4-1=2(a1+3d)-1

，解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=

n(1+2n-1)

2

=n²
（Ⅱ）∵b1+4b2+9b3+…+n2bn=an    ①
當n≥2時，b1+4b2+9b3+…+(n-1)2bn-1=an-1    ②
①-②得n²b_n=a_n-a_n-1=2，n≥2，
∴bn=

2

n2

，n≥2，又∵b₁=a₁=1，
∴bn=

1，n=1 2 n2 ，n≥2

點評：本題考查等差數列的通項公式和求和公式，屬基礎題．