Question

19．甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分；如果只有一個人猜對，則“星隊”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊”得0分．已知甲每輪猜對的概率是$\frac{3}{4}$，乙每輪猜對的概率是$\frac{2}{3}$；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊”參加兩輪活動，求：
（I）“星隊”至少猜對3個成語的概率；
（II）“星隊”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析 （I）“星隊”至少猜對3個成語包含“甲猜對1個，乙猜對2個”，“甲猜對2個，乙猜對1個”，“甲猜對2個，乙猜對2個”三個基本事件，進(jìn)而可得答案；
（II）由已知可得：“星隊”兩輪得分之和為X可能為：0，1，2，3，4，6，進(jìn)而得到X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（I）“星隊”至少猜對3個成語包含“甲猜對1個，乙猜對2個”，“甲猜對2個，乙猜對1個”，“甲猜對2個，乙猜對2個”三個基本事件，
故概率P=${C}_{2}^{1}•\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）•（\frac{2}{3}）^{2}$+${{（\frac{3}{4}）}^{2}•C}_{2}^{1}•\frac{2}{3}•（1-\frac{2}{3}）$+${（\frac{3}{4}）}^{2}•{（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{2}{3}$，
（II）“星隊”兩輪得分之和為X可能為：0，1，2，3，4，6，
則P（X=0）=${（1-\frac{3}{4}）}^{2}•{（1-\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{1}{144}$，
P（X=1）=2×[${\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）}^{\;}•{（1-\frac{2}{3}）}^{2}$+${（1-\frac{3}{4}）}^{2}•\frac{2}{3}•{（1-\frac{2}{3}）}^{\;}$]=$\frac{10}{144}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}•{（1-\frac{2}{3}）}^{\;}•\frac{3}{4}•{（1-\frac{2}{3}）}^{\;}$+$\frac{3}{4}•{（1-\frac{2}{3}）}^{\;}•（1-\frac{3}{4}）•{\frac{2}{3}}^{\;}$+$（1-\frac{3}{4}）•{\frac{2}{3}}^{\;}•\frac{3}{4}•{（1-\frac{2}{3}）}^{\;}$+$（1-\frac{3}{4}）•{\frac{2}{3}}^{\;}•（1-\frac{3}{4}）•{\frac{2}{3}}^{\;}$=$\frac{25}{144}$，
P（X=3）=2×$\frac{3}{4}•{\frac{2}{3}}^{\;}•（1-\frac{3}{4}）•{（1-\frac{2}{3}）}^{\;}$=$\frac{12}{144}$，
P（X=4）=2×[${\frac{3}{4}•（1-\frac{3}{4}）}^{\;}•{（\frac{2}{3}）}^{2}$+${\frac{2}{3}•（1-\frac{2}{3}）}^{\;}•{（\frac{3}{4}）}^{2}$]=$\frac{60}{144}$
P（X=6）=${{（\frac{3}{4}）}^{\;}}^{2}•{（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{36}{144}$
故X的分布列如下圖所示：

X	0	1	2	3	4	6
P	$\frac{1}{144}$	$\frac{10}{144}$	$\frac{25}{144}$	$\frac{12}{144}$	$\frac{60}{144}$	$\frac{36}{144}$

∴數(shù)學(xué)期望EX=0×$\frac{1}{144}$+1×$\frac{10}{144}$+2×$\frac{25}{144}$+3×$\frac{12}{144}$+4×$\frac{60}{144}$+6×$\frac{36}{144}$=$\frac{552}{144}$=$\frac{23}{6}$

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，屬中檔題．