Question

4．（1）求7C${\;}_{6}^{3}$-4C${\;}_{7}^{4}$的值；
（2）設(shè)m，n∈N^*，n≥m，求證：（m+1）C${\;}_{m}^{m}$+（m+2）C${\;}_{m+1}^{m}$+（m+3）C${\;}_{m+2}^{m}$+…+nC${\;}_{n-1}^{m}$+（n+1）C${\;}_{n}^{m}$=（m+1）C${\;}_{n+2}^{m+2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知直接利用組合公式能求出7${C}_{6}^{3}-4{C}_{7}^{4}$的值．
（2）對(duì)任意m∈N^*，當(dāng)n=m時(shí)，驗(yàn)證等式成立；再假設(shè)n=k（k≥m）時(shí)命題成立，推導(dǎo)出當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立，由此利用數(shù)學(xué)歸納法能證明（m+1）C${\;}_{m}^{m}$+（m+2）C${\;}_{m+1}^{m}$+（m+3）C${\;}_{m+2}^{m}$+…+nC${\;}_{n-1}^{m}$+（n+1）C${\;}_{n}^{m}$=（m+1）C${\;}_{n+2}^{m+2}$．

解答 解：（1）7${C}_{6}^{3}-4{C}_{7}^{4}$
=$7×\frac{6×5×4}{3×2×1}$-4×$\frac{7×6×5×4}{4×3×2×1}$
=7×20-4×35=0．
證明：（2）對(duì)任意m∈N^*，
①當(dāng)n=m時(shí)，左邊=（m+1）${C}_{m}^{m}$=m+1，
右邊=（m+1）${C}_{m+2}^{m+2}$=m+1，等式成立．
②假設(shè)n=k（k≥m）時(shí)命題成立，
即（m+1）C${\;}_{m}^{m}$+（m+2）C${\;}_{m+1}^{m}$+（m+3）C${\;}_{m+2}^{m}$+…+k${C}_{k-1}^{m}$+（k+1）${C}_{k}^{m}$=（m+1）${C}_{k+2}^{m+2}$，
當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=（m+1）${C}_{m}^{m}$+（m+2）${C}_{m+1}^{m}$+（m+3）${C}_{m+2}^{m}$+$…+k{C}_{k-1}^{m}$+（k+1）${C}_{k}^{m}$+（k+2）${C}_{k+1}^{m}$
=$（m+1）{C}_{k+2}^{m+2}+（k+2）{C}_{k+1}^{m}$，
右邊=$（m+1）{C}_{k+3}^{m+2}$
∵$（m+1）{C}_{k+3}^{m+2}-（m+1）{C}_{k+2}^{m+2}$
=（m+1）[$\frac{（k+3）!}{（m+2）!（k-m+1）!}$-$\frac{（k+2）!}{（m+2）!（k-m）!}$]
=（m+1）×$\frac{（k+2）!}{（m+2）!（k-m+1）!}$[k+3-（k-m+1）]
=（k+2）$\frac{（k+1）!}{m!（k-m+1）!}$
=（k+2）${C}_{k+1}^{m}$，
∴$（m+1）{C}_{k+2}^{m+2}+（k+2）{C}_{k+1}^{m}$=（m+1）${C}_{k+3}^{m+2}$，
∴左邊=右邊，
∴n=k+1時(shí)，命題也成立，
∴m，n∈N^*，n≥m，（m+1）C${\;}_{m}^{m}$+（m+2）C${\;}_{m+1}^{m}$+（m+3）C${\;}_{m+2}^{m}$+…+nC${\;}_{n-1}^{m}$+（n+1）C${\;}_{n}^{m}$=（m+1）C${\;}_{n+2}^{m+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查組合數(shù)的計(jì)算與證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意組合數(shù)公式和數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．