Question

3．下列命題中正確的是（　�。�

• A． 函數y=x+$\frac{1}{x}$的最小值為2
• B． 函數y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值為2
• C． 函數y=3^x+3^-x的最小值為2
• D． 函數y=sinx+$\frac{1}{sinx}$的最小值為2

Answer 1

分析 利用x的范圍判斷A的正誤；基本不等式判斷B、C的正誤，三角函數的符號判斷D的正誤；

解答 解：函數y=x+$\frac{1}{x}$的最小值為2，顯然x＜0，y＜0，所以A不正確；
函數y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$-$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$＞2．判斷函數y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$的最小值為2，不正確；
函數y=3^x+3^-x≥2$\sqrt{{3}^{x}•{3}^{-x}}$=2，當且僅當x=0時成立，所以函數的最小值為2正確．
函數y=sinx+$\frac{1}{sinx}$的最小值為2，顯然當sinx＜0時不成立．
故選：C．

點評 本題考查函數的最值的求法，基本不等式的應用，是基礎題．