Question

已知函數f(x)=5-

6

x

，則f（x）在x∈（0，+∞）是

 

（增函數，減函數）若f（x）在[a，b]（0＜a＜b）的值域是[a，b]，則a=

 

．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：①根據函數y=

6

x

的單調性，得出函數y=-

6

x

的單調性，即可得出函數f（x）=5-

6

x

的單調性；
②由函數f（x）在x∈（0，+∞）上的單調性，得出f（x）在[a，b]上的單調性，列出方程組，求出a的值．

解答： 解：①∵函數f(x)=5-

6

x

，
當x∈（0，+∞）時，y=

6

x

是減函數，
∴y=-

6

x

在x∈（0，+∞）上是增函數，
∴函數f（x）=5-

6

x

在x∈（0，+∞）上是增函數；
②∵函數f（x）=5-

6

x

在x∈（0，+∞）上是增函數，
且f（x）在[a，b]（0＜a＜b）的值域是[a，b]；
∴

f(a)=a f(b)=b 0＜a＜b

，
即

5- 6 a =a 5- 6 b =b 0＜a＜b

，
解得a=2，b=3；
∴a的值是2．
故答案為：增函數；2．

點評：本題考查了復合函數的單調性的判斷問題，也考查了函數值域的應用問題，是綜合性題目．