Question

已知直線：

sinθ

a

x+

cosθ

b

y=1（a，b為給定的正常數，θ為參數，θ∈[0，2π））構成的集合為S，給出下列命題：
①當θ=

π

4

時，S中直線的斜率為

b

a

；
②S中所有直線均經過一個定點；
③當a=b時，存在某個定點，該定點到S中的所有直線的距離均相等；
④當a＞b時，S中的兩條平行直線間的距離的最小值為2b；
⑤S中的所有直線可覆蓋整個平面．
其中正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）．

Answer 1

考點：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：①當θ=

π

4

時，S中直線的斜率為k=-

b

a

；
②S中所有直線不可能均經過一個定點；
③當a=b時，方程為xsinθ+ycosθ=a，存在定點（0，0），該定點到S中的所有直線的距離均相等；
④當a＞b時，S中的兩條平行直線間的距離最小值為2b．

解答： 解：①當θ=

π

4

時，S中直線的斜率為k=-

sin π 4 a

cos π 4 b

=-

b

a

，故①錯誤；
②S中所有直線不可能均經過一個定點，故②錯誤；
③當a=b時，方程為xsinθ+ycosθ=a，
存在定點（0，0），該定點到S中的所有直線的距離均相等，故③正確；
④當a＞b時，S中的兩條平行直線間的距離為d=

2

sin2θ a2 + cos2θ b2

≥2b，即最小值為2b，故④正確．
故答案為：2．

點評：本題考查直線系方程的應用，要明確直線系中直線的性質，結合三角函數的性質，判斷各個命題的正確性．