Question

如圖，A，B，C，H四個小朋友在草坪上游戲，根據(jù)游戲規(guī)則，A，B，C三人圍成一個三角形，B，H，C三人共線，H在B，C兩人之間．B，C兩人相距20m，A，H兩人相距hm，AH與BC垂直．
（1）當h=10時，求A看B，C兩人視角的最大值；
（2）當A在某位置時，此時B看A，C視角是C看A，B視角的2倍，求h的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)CH=x，由BC-CH表示出BH，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠CAH，分兩種情況考慮：1°、當1-•=0，即x=10時，此時∠BAH=∠CAH=45°，∠BAC=90°；2°、當1-•≠0，即x≠10時，tan∠BAC=tan（∠BAH+∠CAH），利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡，將各自的值代入得到其值大于0，由∠BAC為三角形內(nèi)角，得到∠BAC小于90度，綜上，得到A看B，C兩人視角的最大值；
（2）利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠ABH與tan∠ACH，得到∠ABH=2∠ACH，利用二倍角的正切函數(shù)公式列出關(guān)系式，整理后表示出h²，根據(jù)x的范圍求出h²的范圍，即可求出h的范圍．
解答：解：（1）設(shè)CH=x，∴BH=20-x，x∈（0，20），tan∠CAH=，
1°、當1-•=0，即x=10時，此時∠BAH=∠CAH=45°，
∴∠BAC=90°；
2°、當1-•≠0，即x≠10時，tan∠BAC=tan（∠BAH+∠CAH）==＞0，
∵0＜∠BAC＜180°，∴∠BAC＜90°，
綜上：AH=BH=10時，最大視角是90°；
（2）∵tan∠ABH=，tan∠ACH=，
∴tan∠ABH=tan2∠ACH，
∴=，即h²=3x²-80x+400=（3x-20）（x-20），
∵x∈（0，20）時，h²∈（0，400），
∴h∈（0，20）．
點評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，二倍角的正切函數(shù)公式，銳角三角函數(shù)定義，利用了分類討論的思想，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．