Question

如圖，A，B，C，H四個(gè)小朋友在草坪上游戲，根據(jù)游戲規(guī)則，A，B，C三人圍成一個(gè)三角形，B，H，C三人共線，H在B，C兩人之間．B，C兩人相距20m，A，H兩人相距hm，AH與BC垂直．
（1）當(dāng)h=10時(shí)，求A看B，C兩人視角的最大值；
（2）當(dāng)A在某位置時(shí)，此時(shí)B看A，C視角是C看A，B視角的2倍，求h的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)CH=x，由BC-CH表示出BH，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠CAH，分兩種情況考慮：1°、當(dāng)1-

20-x

10

•

x

10

=0，即x=10時(shí)，此時(shí)∠BAH=∠CAH=45°，∠BAC=90°；2°、當(dāng)1-

20-x

10

•

x

10

≠0，即x≠10時(shí)，tan∠BAC=tan（∠BAH+∠CAH），利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入得到其值大于0，由∠BAC為三角形內(nèi)角，得到∠BAC小于90度，綜上，得到A看B，C兩人視角的最大值；
（2）利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠ABH與tan∠ACH，得到∠ABH=2∠ACH，利用二倍角的正切函數(shù)公式列出關(guān)系式，整理后表示出h²，根據(jù)x的范圍求出h²的范圍，即可求出h的范圍．

解答：解：（1）設(shè)CH=x，∴BH=20-x，x∈（0，20），tan∠CAH=

x

10

，
1°、當(dāng)1-

20-x

10

•

x

10

=0，即x=10時(shí)，此時(shí)∠BAH=∠CAH=45°，
∴∠BAC=90°；
2°、當(dāng)1-

20-x

10

•

x

10

≠0，即x≠10時(shí)，tan∠BAC=tan（∠BAH+∠CAH）=

20-x 10 + x 10

1- 20-x 10 • x 10

=

200

(x-10)2

＞0，
∵0＜∠BAC＜180°，∴∠BAC＜90°，
綜上：AH=BH=10時(shí)，最大視角是90°；
（2）∵tan∠ABH=

h

20-x

，tan∠ACH=

h

x

，
∴tan∠ABH=tan2∠ACH，
∴

h

20-x

=

2• h x

1-( h x )2

，即h²=3x²-80x+400=（3x-20）（x-20），
∵x∈（0，20）時(shí)，h²∈（0，400），
∴h∈（0，20）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，二倍角的正切函數(shù)公式，銳角三角函數(shù)定義，利用了分類討論的思想，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．