Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=（2x+a）ⁿ，其中$n=6\int_0^{\frac{π}{2}}{cosxdx，\frac{f'（0）}{f（0）}}=-12$，則f（x）的展開式中x⁴的系數(shù)為240．

Answer 1

分析 利用定積分求出n的值，再求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用$\frac{f′（0）}{f（0）}$求出a的值，從而求出展開式中含x⁴項的系數(shù)．

解答 解：∵n=6${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=6sinx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=6，
∴函數(shù)f（x）=（2x+a）⁶，
∴f′（x）=12（x+a）⁵，
∴$\frac{f′（0）}{f（0）}$=$\frac{12{×a}^{5}}{{a}^{6}}$=-12，
解得a=-1，
∴f（x）=（2x-1）⁶展開式中含x⁴的項為
${C}_{6}^{2}$•（2x）^6-2•（-1）²=240x⁴；
它的系數(shù)是240．
故答案為：240．

點評 本題考查了定積分與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式以及二項式展開式的應(yīng)用問題，是中檔題．