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11.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期為π,圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(\frac{π}{4},0).將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移\frac{π}{2}個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象.
(1)求函數(shù)f(x)與g(x)的解析式;
(2)定義:當(dāng)函數(shù)取得最值時(shí),函數(shù)圖象上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)稱為函數(shù)的最值點(diǎn),如果函數(shù)y=F(x)=\sqrt{3}sin\frac{πx}{k}的圖象上至少有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)在圓x2+y2=k2(k>0)的內(nèi)部或圓周上,求k的取值范圍.

分析 (1)由函數(shù)的周期為π可得ω=2,再由對(duì)稱中心為(\frac{π}{4},0)可得φ值,由函數(shù)圖象變換和誘導(dǎo)公式可得;
(2)由三角函數(shù)的知識(shí)可得F(x)與原點(diǎn)距離最近的最大值和最小值點(diǎn)分別是點(diǎn)(\frac{k}{2},\sqrt{3})(-\frac{k}{2},-\sqrt{3}),由題意結(jié)合圖象可得{(\frac{k}{2})^2}+{(\sqrt{3})^2}≤{k^2},解不等式可得答案.

解答 解:(1)∵函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的周期為π,ω>0,∴ω=\frac{2π}{T}=2,
又∵曲線y=f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為(\frac{π}{4},0),φ∈(0,π),
∴sin(2×\frac{π}{4}+φ)=0,可得φ=\frac{π}{2},∴f(x)=cos2x,
將函數(shù)f(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)后可得y=cosx的圖象,
再將y=cosx的圖象向右平移\frac{π}{2}個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)=cos(x-\frac{π}{2})的圖象,
由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得g(x)=sinx;
(2)∵函數(shù)y=F(x)=\sqrt{3}sin\frac{πx}{k}\frac{πx}{k}=nπ+\frac{π}{2}(n∈Z)時(shí)取得最大值或最小值,
當(dāng)x=nk+\frac{k}{2},即與原點(diǎn)距離最近的最大值和最小值點(diǎn)分別是點(diǎn)(\frac{k}{2},\sqrt{3})(-\frac{k}{2},-\sqrt{3}),
于是有{(\frac{k}{2})^2}+{(\sqrt{3})^2}≤{k^2},解不等式可得k≥2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)圖象變換,數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化已知問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵,屬中檔題.

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