Question

已知直線（1-λ）x+（3λ+1）y-4=0（λ∈R）所過定點恰好落在曲線f（x）=

logax，0＜x≤3 |x-4|，x＞3

上，若函數h（x）=f（x）-mx+2有三個不同的零點，則實數m的范圍是（　�。�

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、（-∞，

  1

  2

  ）∪（1，+∞）
• C、（-∞，

  1

  2

  ）∪[1，+∞）
• D、（

  1

  2

  ，1]

Answer 1

考點：分段函數的應用

專題：函數的性質及應用

分析：根據直線過定點，求出定點坐標，從而求出a，作出函數f（x）的圖象，利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：依題意，直線為（x+y-4）-λ（x-3y）=0，聯立

x+y-4=0 x-3y=0

，
解得

x=3 y=1

，故定點為（3，1），log_a3=1，
∴a=3，f(x)=

log3x ，0＜x≤3 |x-4| ，x＞3

．
令h（x）=f（x）-mx+2=0，
故f（x）=mx-2．則f（x）的圖象與g（x）=mx-2的圖象有三個不同的交點．
作圖，得關鍵點A（0，-2），B（3，1），C（4，0），
可知g（x）=mx-2應介于直線AB與直線AC之間．
由k_AB=1，kAC=

1

2

，故m∈(

1

2

，1)．
故選：A

點評：本題主要考查函數零點個數的應用，利用分段函數的表達式，結合數形結合是解決本題的關鍵．