Question

13．已知復數z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z為純虛數．
（1）求復數z；      
（2）若w=$\frac{z}{2+i}$，求復數w的模|w|．

Answer 1

分析 （1）利用復數的運算法則、純虛數的定義即可得出．
（2）利用復數的運算法則、模的計算公式即可得出．

解答 解：（1）復數z=3+bi（b∈R），且（1+3i）•z為純虛數．
即（1+3i）•（3+bi）=3-3b+（9+b）i為純虛數，∴3-3b=0，9+b≠0，
解得b=1．
∴z=3+i．
（2）w=$\frac{z}{2+i}$=$\frac{3+i}{2+i}$=$\frac{（3+i）（2-i）}{（2+i）（2-i）}$=$\frac{7-i}{5}$，
∴復數w的模|w|=$\sqrt{（\frac{7}{5}）^{2}+（-\frac{1}{5}）^{2}}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了復數的運算法則、純虛數的定義、模的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．