Question

6．已知函數f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$．
（1）求曲線f（x）在點（e，f（e））（e為自然對數的底數）處的切線方程；
（2）求證：$\frac{\root{2016}{2015}}{\root{2015}{2016}}$＞$\frac{2015}{2016}$．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數，得到f′（e），再求出f（e），代入直線方程的點斜式得答案；
（2）利用導數證明函數f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$在x＞1時為增函數，把要證得不等式兩邊取自然對數，轉化為證明$\frac{2015ln2015}{2015-1}＜\frac{2016ln2016}{2016-1}$，則由（1）中的單調性得答案．

解答 （1）解：由f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，得f′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$，
∴f′（e）=$\frac{e-2}{（e-1）^{2}}$，而f（e）=$\frac{e}{e-1}$，
∴曲線f（x）在點（e，f（e））處的切線方程為y-$\frac{e}{e-1}=\frac{e-2}{（e-1）^{2}}（x-e）$，
整理得：（e-2）x-（e-1）²y+e=0；
（2）證明：要證$\frac{\root{2016}{2015}}{\root{2015}{2016}}$＞$\frac{2015}{2016}$，需要證ln$\frac{\root{2016}{2015}}{\root{2015}{2016}}$＞ln$\frac{2015}{2016}$，
即證：$\frac{1}{2016}ln2015-\frac{1}{2015}ln2016＞ln2015-ln2016$，
也就是證：$\frac{2015ln2015}{2015-1}＜\frac{2016ln2016}{2016-1}$，
令g（x）=x-lnx-1，則g′（x）=x-$\frac{1}{x}=\frac{{x}^{2}-1}{x}$，
當x＞1時，g′（x）＞0，
∴g（x）=x-lnx-1＞g（1）=0，
即當x＞1時，f′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$＞0，
∴函數f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$在x＞1時為增函數，則$\frac{2015ln2015}{2015-1}＜\frac{2016ln2016}{2016-1}$，
故$\frac{\root{2016}{2015}}{\root{2015}{2016}}$＞$\frac{2015}{2016}$．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，訓練了利用函數單調性證明數列不等式，是中檔題．