分析 由已知數(shù)列遞推式可得$_{n}=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n+1}}$,$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+3}=\frac{1}{{a}_{n}}-_{n}$,然后求出Pn與Sn,代入3n+1Pn+Sn得答案.
解答 解:∵$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}({a}_{n}+3)}$,bn=$\frac{1}{3+{a}_{n}}$,
∴$_{n}=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n+1}}$,$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+3}=\frac{1}{{a}_{n}}-_{n}$,
∴Pn=b1•b2•b3…bn =$\frac{{a}_{1}}{3{a}_{2}}•\frac{{a}_{2}}{3{a}_{3}}…\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n+1}}=\frac{1}{{3}^{n+1}•{a}_{n+1}}$,
Sn=b1+b2+b3+…+bn=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}=3-$$\frac{1}{{a}_{n+1}}$,
則3n+1Pn+Sn=$\frac{1}{{a}_{n+1}}+3-\frac{1}{{a}_{n+1}}=3$.
故答案為:3.
點評 本題考查數(shù)列求和,考查學(xué)生的邏輯思維能力和運算能力,是中檔題.
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A. | $\frac{16}{3}$π | B. | 4$\sqrt{3}$π | C. | $\frac{32}{3}$π | D. | 16π |
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