Question

5．閱讀下面的一段文字，并解決后面的問題：
我們可以從函數(shù)的角度來研究方程的解的個數(shù)的情況，例如，研究方程2x³-3x²-6=0的解的情況：因為方程2x³-3x²-6=0的同解方程有x³=$\frac{3}{2}{x^2}$+3，2x-3=$\frac{6}{x^2}$等多種形式，所以，我們既可以選用函數(shù)y=x³，y=$\frac{3}{2}{x^2}$+3，也可以選用函數(shù)y=2x-3，y=$\frac{6}{x^2}$，通過研究兩函數(shù)圖象的位置關(guān)系來研究方程的解的個數(shù)情況．因為函數(shù)的選擇，往往決定了后續(xù)研究過程的難易程度，所以從函數(shù)的角度來研究方程的解的情況，首先要注意函數(shù)的選擇．
請選擇合適的函數(shù)來研究該方程$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+b}{e^x}$的解的個數(shù)的情況，記k為該方程的解的個數(shù)．請寫出k的所有可能取值，并對k的每一個取值，分別指出你所選用的函數(shù)，畫出相應(yīng)圖象（不需求出a，b的數(shù)值）．

Answer 1

分析 方程$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+b}{e^x}$等價于e^x=ax²+bx或$\frac{{e}^{x}}{x}$=ax+b，從而構(gòu)造函數(shù)，作圖象研究即可．

解答 解：k的可能取值為0，1，2，3；
當(dāng)k=0時，選用函數(shù)y=e^x與y=ax²+bx研究，其圖象如下，
；
當(dāng)k=1時，選用函數(shù)y=e^x與y=ax²+bx研究，其圖象如下，
；
當(dāng)k=2時，選用函數(shù)y=e^x與y=ax²+bx研究，其圖象如下，
；
當(dāng)k=3時，選用函數(shù)y=$\frac{{e}^{x}}{x}$與y=ax+b研究，其圖象如下，
．

點評 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用．