【題目】如圖,在四面體ABCD中,AC=6,BA=BC=5,AD=CD=3 .
(1)求證:AC⊥BD;
(2)當(dāng)四面體ABCD的體積最大時,求點A到平面BCD的距離.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)取AC的中點O,連接OB與OD,證明AC⊥平面OBD,即可得證;
(2)當(dāng)四面體ABCD的體積最大時,平面DAC⊥平面ABC,利用等體積法求解點到平面距離.
(1)證明:
如圖,取AC的中點O,連接OB與OD,∵BA=BC,
∴AC⊥OB ∵AD=CD,∴AC⊥OD,又OD∩OB=O,
∴AC⊥平面OBD,又BD平面OBD,∴AC⊥BD.
(2)由題可知,當(dāng)四面體ABCD的體積最大時,平面DAC⊥平面ABC,∵DO⊥AC,
∴DO⊥平面ABC,又OB平面ABC,∴DO⊥OB,
∵DA=DC=3,AC=6,AB=BC=5,∴OD=
=
=3,
OB==
=4,∴DB=
=
=5,
又BC=5,
∴在△BCD中,CD邊上的高h==
=
,
∴S△BCD=×CD×h=
×3
×
=
,S△ABC=
×AC×OB=
×6×4=12.
設(shè)點A到平面BCD的距離為d,∴VABCD=VDABC,即S△BCD×d=
S△ABC×OD,
∴d==
=
,∴點A到平面BCD的距離為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把函數(shù)的圖象向右平移
個單位長度,再把所得的函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的
(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)
的圖象,關(guān)于
的說法有:①函數(shù)
的圖象關(guān)于點
對稱;②函數(shù)
的圖象的一條對稱軸是
;③函數(shù)
在
上的最上的最小值為
;④函數(shù)
上單調(diào)遞增,則以上說法正確的個數(shù)是( )
A.4個B.3個C.2個D.1個
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=x2﹣2x+1的圖象與函數(shù)g(x)=3cosπx的圖象所有交點的橫坐標(biāo)之和等于( )
A.2B.4C.6D.8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝加工廠為了提高市場競爭力,對其中一臺生產(chǎn)設(shè)備提出了甲、乙兩個改進方案:甲方案是引進一臺新的生產(chǎn)設(shè)備,需一次性投資1000萬元,年生產(chǎn)能力為30萬件;乙方案是將原來的設(shè)備進行升級改造,需一次性投入700萬元,年生產(chǎn)能力為20萬件.根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,該產(chǎn)品的年銷售量的頻率分布直方圖如圖所示,無論是引進新生產(chǎn)設(shè)備還是改造原有的生產(chǎn)設(shè)備,設(shè)備的使用年限均為6年,該產(chǎn)品的銷售利潤為15元/件(不含一次性設(shè)備改進投資費用).
(1)根據(jù)年銷售量的頻率分布直方圖,估算年銷量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)將年銷售量落入各組的頻率視為概率,各組的年銷售量用該組區(qū)間的中點值作年銷量的估計值,并假設(shè)每年的銷售量相互獨立.
①根據(jù)頻率分布直方圖估計年銷售利潤不低于270萬元的概率:
②若以該生產(chǎn)設(shè)備6年的凈利潤的期望值作為決策的依據(jù),試判斷該服裝廠應(yīng)選擇哪個方案.(6年的凈利潤=6年銷售利潤-設(shè)備改進投資費用)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)-2為自然對數(shù)的底數(shù),
).
(1)若曲線在點
處的切線與曲線
至多有一個公共點時,求
的取值范圍;
(2)當(dāng)時,若函數(shù)
有兩個零點,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線
(
為參數(shù)) 上任意一點
經(jīng)過伸縮變換
后得到曲線
.以坐標(biāo)原點
為極點,
軸的非負半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)求直線的普通方程和曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與曲線
交于
兩點,
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線
過點
,傾斜角為
.以原點為極點,
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程
.
(1)寫出直線的參數(shù)方程及曲線
的直角坐標(biāo)方程;
(2)若與
相交于
,
兩點,
為線段
的中點,且
,求
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
的左、右頂點分別為C、D,且過點
,P是橢圓上異于C、D的任意一點,直線PC,PD的斜率之積為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)O為坐標(biāo)原點,設(shè)直線CP交定直線x = m于點M,當(dāng)m為何值時,為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人,這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”. 為弘揚中國傳統(tǒng)文化,某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須相鄰安排的概率為( )
A.B.
C.
D.
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