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1.已知圓C:\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.(θ為參數(shù))和直線l:\left\{\begin{array}{l}{x=2++tcosα}\\{y=\sqrt{3}+tsinα}\end{array}\right.(其中t為參數(shù),α為傾斜角)
(1)當(dāng)α=\frac{π}{3}時(shí),求圓上的點(diǎn)到直線l距離的最小值;
(2)當(dāng)直線l與圓C有公共點(diǎn)時(shí),求α的取值范圍.

分析 (1)求出圓和直線的普通方程,計(jì)算圓心到直線的距離判定直線與圓的位置關(guān)系,得出距離最小值;
(2)求出圓過(guò)點(diǎn)(2,\sqrt{3})的切線的傾斜角,則α的值介于兩條切線的傾斜角之間.

解答 解:(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1,
當(dāng)α=\frac{π}{3}時(shí),直線l的斜率為\sqrt{3},且過(guò)點(diǎn)(2,\sqrt{3}),
∴直線l的普通方程為3x-\sqrt{3}y-3=0.
∴圓心到直線l的距離d=0.
∴直線l與圓相交,
∴圓上的點(diǎn)到直線l距離的最小值為0.
(2)當(dāng)α=\frac{π}{2}時(shí),直線l的方程為x=2,顯然與圓相切.
設(shè)圓過(guò)點(diǎn)(2,\sqrt{3})的切線方程為y-\sqrt{3}=k(x-2),即kx-y-2k+\sqrt{3}=0.
∴圓心到切線的距離\frac{|k-2k+\sqrt{3}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1,
解得k=\frac{\sqrt{3}}{3}
∴切線的傾斜角為\frac{π}{6}
∵直線l與圓有公共點(diǎn),
\frac{π}{6}≤α≤\frac{π}{2}

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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