Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{m•{4^x}+1}}{2^x}$是偶函數(shù)．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）若關于x的不等式2k•f（x）＞3k²+1在（-∞，0）上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用偶函數(shù)的定義，可得f（-x）=f（x），化簡整理可得m的值；
（2）由題意可得$\frac{2k}{{3{k^2}+1}}＞\frac{1}{f（x）}$在（-∞，0）上恒成立，求出右邊函數(shù)的取值范圍，可得k的不等式，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）因為函數(shù)$f（x）=\frac{{m•{4^x}+1}}{2^x}$即f（x）=m•2^x+2^-x是定義域為R的偶函數(shù)，
所以有f（-x）=f（x），
即m•2^-x+2^x=m•2^x+2^-x，
即（m-1）（2^x-2^-x）=0恒成立，
故m=1．
（2）$f（x）=\frac{{{4^x}+1}}{2^x}＞0.3{k^2}+1＞0$，
且2k•f（x）＞3k²+1在（-∞，0）上恒成立，
故原不等式等價于$\frac{2k}{{3{k^2}+1}}＞\frac{1}{f（x）}$在（-∞，0）上恒成立，
又x∈（-∞，0），所以f（x）∈（2，+∞），
所以$\frac{1}{f（x）}∈（0，\frac{1}{2}）$，
從而$\frac{2k}{3{k}^{2}+1}$≥$\frac{1}{2}$，即有3k²-4k+1≤0，
因此，$k∈[\frac{1}{3}，1]$．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，注意定義法的運用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離，以及基本不等式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．