分析 (Ⅰ)取PD的中點(diǎn)M,利用E,F(xiàn),H分別為AB,PC,BC的中點(diǎn).可得平面AEFM是平行四邊形.即可證EF∥平面PAD;
(Ⅱ)面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直證明即可.只需證明ED⊥平面PAH,即可得平面PAH⊥平面DEF.
(Ⅲ)找出PD與平面PAH所成,利用二面角P-CD-B的平面角為45°,計(jì)算邊長(zhǎng)的關(guān)系,即求其正弦值.
解答 解:(Ⅰ)證明:取PD的中點(diǎn)M,連接AM,F(xiàn)M,E,F(xiàn),H分別為AB,PC,BC的中點(diǎn).
∴平面AEFM是平行四邊形.
則EF∥AM,AM?平面PAD;EF不在平面PAD內(nèi).
∴EF∥平面PAD;
(Ⅱ)證明:E,H分別為AB,BC的中點(diǎn).ABCD為正方形,
∴△ABH≌△ADE.
則∠BAH+∠AED=90°
∴AH⊥ED.
側(cè)面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,
∴PA⊥底面ABCD.
∴PA⊥ED.
∴ED⊥平面PAH.
ED?平面EFD,
∴平面EFD⊥平面PAH.
(Ⅲ)AH∩DE=O,
∵ED⊥平面PAH,連接OP,
則PO為PD在平面PAH內(nèi)的射影,
可得∠OPD為線面角.即PD與平面PAH所成角.
側(cè)面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,
∴PA⊥底面ABCD,CD⊥AD,
∴∠ADP是平面PCD和CDB的二面角,即∠ADP=45°
由射影定理,可得:AD2=OD•DE.
∴OD=$\frac{2}{\sqrt{5}}a$
∴sin∠OPD=$\frac{\sqrt{10}}{5}$
∴PD與平面PAH所成的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、線面角,面面之間的關(guān)系問(wèn)題和二面角問(wèn)題.屬于中檔題.
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{9}{16}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{3}{5}$ |
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A. | n=4時(shí)該命題不成立 | |
B. | n=6時(shí)該命題不成立 | |
C. | n為大于5的某個(gè)自然數(shù)時(shí)該命題成立 | |
D. | 以上答案均不對(duì) |
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A. | (-2,2) | B. | (-∞,-2)∪(2,+∞) | C. | [-2,2] | D. | (-∞,-2]∪[2,+∞) |
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