11.如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E,F(xiàn),H分別為AB,PC,BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:EF∥平面PAD;
(Ⅱ)求證:平面PAH⊥平面DEF;
(Ⅲ)若二面角P-CD-B的平面角為45°,求PD與平面PAH所成的正弦值.

分析 (Ⅰ)取PD的中點(diǎn)M,利用E,F(xiàn),H分別為AB,PC,BC的中點(diǎn).可得平面AEFM是平行四邊形.即可證EF∥平面PAD;
(Ⅱ)面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直證明即可.只需證明ED⊥平面PAH,即可得平面PAH⊥平面DEF.
(Ⅲ)找出PD與平面PAH所成,利用二面角P-CD-B的平面角為45°,計(jì)算邊長(zhǎng)的關(guān)系,即求其正弦值.

解答 解:(Ⅰ)證明:取PD的中點(diǎn)M,連接AM,F(xiàn)M,E,F(xiàn),H分別為AB,PC,BC的中點(diǎn).
∴平面AEFM是平行四邊形.
則EF∥AM,AM?平面PAD;EF不在平面PAD內(nèi).
∴EF∥平面PAD;
(Ⅱ)證明:E,H分別為AB,BC的中點(diǎn).ABCD為正方形,
∴△ABH≌△ADE.
則∠BAH+∠AED=90°
∴AH⊥ED.
側(cè)面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,
∴PA⊥底面ABCD.
∴PA⊥ED.
∴ED⊥平面PAH.
ED?平面EFD,
∴平面EFD⊥平面PAH.
(Ⅲ)AH∩DE=O,
∵ED⊥平面PAH,連接OP,
則PO為PD在平面PAH內(nèi)的射影,
可得∠OPD為線面角.即PD與平面PAH所成角.
側(cè)面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,
∴PA⊥底面ABCD,CD⊥AD,
∴∠ADP是平面PCD和CDB的二面角,即∠ADP=45°
由射影定理,可得:AD2=OD•DE.
∴OD=$\frac{2}{\sqrt{5}}a$
∴sin∠OPD=$\frac{\sqrt{10}}{5}$
∴PD與平面PAH所成的正弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、線面角,面面之間的關(guān)系問(wèn)題和二面角問(wèn)題.屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

1.設(shè)集合U={1,2,3,4,5},從集合U中選4個(gè)數(shù),組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),并且此四位數(shù)大于2345,同時(shí)小于4351,則滿(mǎn)足條件的四位數(shù)共有54.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

2.如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面相互垂直,AB=$\sqrt{2}$,AF=1,G為線段AD上的任意一點(diǎn).
(1)若M是線段EF的中點(diǎn),證明:平面AMG⊥平面BDF;
(2)若N為線段EF上任意一點(diǎn),設(shè)直線AN與平面ABF,平面BDF所成角分別是α,β,求$\frac{sinα}{sinβ}$的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

19.已知菱形ABCD中,∠A=$\frac{π}{3}$,AB=1,E為BC邊上任一點(diǎn),則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{EC}$的最大值為(  )
A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{9}{16}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{5}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

6.已知函數(shù)f(x)=|$\overrightarrow{MP}$-x$\overrightarrow{MN}$|(x∈R),其中MN是半徑為4的圓O的一條弦,O為原點(diǎn),P為單位圓上的點(diǎn),設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為t,當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),t的最大值為3,則線段MN的長(zhǎng)度為4$\sqrt{3}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

16.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),當(dāng)x∈[0,1]時(shí),|f(x)|≤1,則(a+b)c的最大值為$\frac{1}{4}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

3.某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān),如果當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)該命題成立,那么可以推得n=k+1時(shí)該命題也成立.現(xiàn)已知n=5時(shí)該命題不成立,那么( 。
A.n=4時(shí)該命題不成立
B.n=6時(shí)該命題不成立
C.n為大于5的某個(gè)自然數(shù)時(shí)該命題成立
D.以上答案均不對(duì)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1,B2,B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游.
(Ⅰ)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè),求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率;
(Ⅱ)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè),求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

1.已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},則∁UA=(  )
A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案