Question

14．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點M（2，m）為其上一點，且|MF|=4．
（1）求p與m的值；
（2）如圖，過點F作直線l交拋物線于A、B兩點，求直線OA、OB的斜率之積．

Answer 1

分析 （1）求得拋物線的焦點和準線方程，由拋物線的定義，可得p的方程，求得p和拋物線的方程，以及m的值；
（2）求出拋物線的焦點，討論直線l的斜率不存在，求得交點A，B，可得斜率之積；直線l的斜率存在，設(shè)為k（k≠0），則其方程可表示為：y=k（x-2），聯(lián)立拋物線的方程，消去x，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用韋達定理和直線的斜率公式，計算即可得到所求之積．

解答 解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為$F（\frac{p}{2}，0）$，準線為$x=-\frac{p}{2}$．
由拋物線定義知：點M（2，m）到F的距離等于M到準線的距離，
故$|MF|=2+\frac{p}{2}=4$，
∴p=4，拋物線C的方程為y²=8x
∵點M（2，m）在拋物線C上，
∴m²=16，即m=±4
∴p=4，m=±4；
（2）證明：由（1）知：拋物線C的方程為y²=8x，焦點為F（2，0）
若直線l的斜率不存在，
則其方程為：x=2，代入y²=8x，
易得：A（2，4），B（2，-4），
從而${k_{OA}}{k_{OB}}=\frac{4-0}{2-0}×\frac{-4-0}{2-0}=-4$；
若直線l的斜率存在，設(shè)為k（k≠0），則其方程可表示為：y=k（x-2），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{{y^2}=8x}\end{array}}\right.$，消去x，得：$y=k（\frac{1}{8}{y^2}-2）$，
即ky²-8y-16k=0（k≠0），△=64+64k²＞0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${y_1}{y_2}=\frac{-16k}{k}=-16$，
∴${x_1}{x_2}=（\frac{1}{8}{y_1}^2）（\frac{1}{8}{y_2}^2）=\frac{1}{64}{（{y_1}{y_2}）^2}=\frac{1}{64}×{（-16）^2}=4$，
從而${k_{OA}}{k_{OB}}=\frac{{{y_1}-0}}{{{x_1}-0}}×\frac{{{y_2}-0}}{{{x_2}-0}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{-16}{4}=-4$．
綜上所述：直線OA、OB的斜率之積為-4．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的方程聯(lián)立，運用韋達定理，以及直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．