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17.定義:若曲線τ由橢圓T1x2a2+y22=1(a>b>0)和橢圓T2y22+x2c2=1(b>c>0)組成,當(dāng)a、b、c成等比數(shù)列時(shí),稱(chēng)曲線τ為“貓眼曲線”.若“貓眼曲線”τ過(guò)點(diǎn)P(0,-2),且a、b、c的公比為22
(1)求“貓眼曲線”τ的方程;
(2)任作斜率為k(k≠0)且不過(guò)原點(diǎn)的直線與該曲線τ相交,且交橢圓T1所得弦的中點(diǎn)為M,交橢圓T2所得弦的中點(diǎn)為N,設(shè)OM、ON的斜率分別是kOM、kON,求kOMkON的值;
(3)若斜率為1的直線l交橢圓T1于點(diǎn)A、B,交橢圓T2于點(diǎn)C、D,且滿足|AB||CD|=2,求直線l的方程.

分析 (1)由題意可知:b=2,a=ca=22,代入分別求得a和c的值,即可求得“貓眼曲線”τ的方程;
(2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,將E,F(xiàn)坐標(biāo)代入橢圓方程,利用”點(diǎn)差法“求得k•kOM=-12,同理求得k•kON=-2,即可求得kOMkON的值;
(3)設(shè)直線方程y=x+m,分別代入T1和T2,求得關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,利用弦長(zhǎng)公式分別求得丨AB丨和丨CD丨,根據(jù)|AB||CD|=2,即可求得m的值,求得直線方程.

解答 解:(1)由題意知,b=2,a=ca=22,
∴a=2,c=1,
∴T1x24+y22=1,T2y22+x2=1.
(2)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線交橢圓T1于點(diǎn)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2)線段EF中點(diǎn)為M(x0,y0),
則x0=x1+x22,y0=y1+y22
{x214+y212=1x224+y222=1,得x1x2x1+x24+y1y2y1+y22=0,
因?yàn)閗存在且k≠0,
∴x1≠x2,x0≠0,
y1y2x1x2-y0x0=-12,即k•kOM=-12,
同理k•kON=-2,
kOMkON=14
(3)設(shè)直線l的方程為:y=x+m,A(xA,yA),B(xB,yB),C(xA,yA),D(xB,yB),
{y=x+mx24+y22=1,得3x2+4mx+2m2-4=0,
由韋達(dá)定理可知:xA+xB=-4m3,xA•xB=2m243,
{y=x+my22+x2=1,得3x2+2mx+m2-2=0,
由韋達(dá)定理可知:xC+xD=-2m3,xC•xD=m223,
|AB||CD|=1+k2xAxB1+k2xCxD=xAxB24xAxBxCxD24xCxD=488m2248m2=2,
解得:m=±2,
所以直線l的方程為y=x±2

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式,考查直線方程的求得,考查綜合運(yùn)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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6.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位:千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響,對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
\overline{x}\overline{y}\overline{w}\sum_{i=1}^{8}(xi-\overline{x}2\sum_{i=1}^{8}(wi-\overline{w}2\sum_{i=1}^{8}(xi-\overline{x})(yi-\overline{y}\sum_{i=1}^{8}(wi-\overline{w})(yi-\overline{y}
46.65636.8289.81.61469108.8
其中wi=\sqrt{{x}_{i}},\overline{w}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}wi
(Ⅰ)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d\sqrt{x}哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型?(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由)
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程;
(Ⅲ)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x.根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果回答下列問(wèn)題:
(i)年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少?
(ii)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,\stackrel{∧}{β}=\frac{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})({v}_{i}-\overline{v})}{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})^{2}},\stackrel{∧}{α}=\overline{v}-\stackrel{∧}{β}\overline{u}

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