分析 (1)由題意可知:b=√2,a=ca=√22,代入分別求得a和c的值,即可求得“貓眼曲線”τ的方程;
(2)根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式,將E,F(xiàn)坐標(biāo)代入橢圓方程,利用”點(diǎn)差法“求得k•kOM=-12,同理求得k•kON=-2,即可求得kOMkON的值;
(3)設(shè)直線方程y=x+m,分別代入T1和T2,求得關(guān)于x的一元二次方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,利用弦長(zhǎng)公式分別求得丨AB丨和丨CD丨,根據(jù)|AB||CD|=2,即可求得m的值,求得直線方程.
解答 解:(1)由題意知,b=√2,a=ca=√22,
∴a=2,c=1,
∴T1:x24+y22=1,T2:y22+x2=1.
(2)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線交橢圓T1于點(diǎn)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2)線段EF中點(diǎn)為M(x0,y0),
則x0=x1+x22,y0=y1+y22,
由{x214+y212=1x224+y222=1,得(x1−x2)(x1+x2)4+(y1−y2)(y1+y2)2=0,
因?yàn)閗存在且k≠0,
∴x1≠x2,x0≠0,
∴y1−y2x1−x2-y0x0=-12,即k•kOM=-12,
同理k•kON=-2,
∴kOMkON=14;
(3)設(shè)直線l的方程為:y=x+m,A(xA,yA),B(xB,yB),C(xA,yA),D(xB,yB),
由{y=x+mx24+y22=1,得3x2+4mx+2m2-4=0,
由韋達(dá)定理可知:xA+xB=-4m3,xA•xB=2m2−43,
由{y=x+my22+x2=1,得3x2+2mx+m2-2=0,
由韋達(dá)定理可知:xC+xD=-2m3,xC•xD=m2−23,
∴|AB||CD|=√1+k2丨xA−xB丨√1+k2丨xC−xD丨=√(xA−xB)2−4xAxB√(xC−xD)2−4xCxD=√48−8m2√24−8m2=2,
解得:m=±√2,
所以直線l的方程為y=x±√2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式,考查直線方程的求得,考查綜合運(yùn)算能力,屬于中檔題.
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A. | 0 | B. | \frac{1}{4} | C. | \frac{2}{3} | D. | 1 |
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\overline{x} | \overline{y} | \overline{w} | \sum_{i=1}^{8}(xi-\overline{x})2 | \sum_{i=1}^{8}(wi-\overline{w})2 | \sum_{i=1}^{8}(xi-\overline{x})(yi-\overline{y}) | \sum_{i=1}^{8}(wi-\overline{w})(yi-\overline{y}) |
46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
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