Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²
（1）求f（x）在區(qū)間[0，1]上的極值；
（2）若對任意x∈[

1

6

，

1

3

]不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）=-2x+b在區(qū)間[0，1]上恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)的零點與方程根的關系

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求導，求出[0，1]上的單調(diào)區(qū)間，再利用極值的定義即可得到．
（2）判斷x∈[

1

6

，

1

3

]，ln

3

2+3x

∈[0，ln

6

5

]，只有當x=

1

3

時，ln

3

2+3x

=0，a=ln

1

3

，不等式不成立，其它都成立，即可得到a的取值范圍；
（3）將f（x）=-2x+b轉(zhuǎn)化為ln（2+3x）-

3

2

x²+2x-b=0，令φ（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²+2x-b，用導數(shù)法求得其極值和端點值并比較其大小，由方程在[0，1]上恰有兩個不同的實根判斷即可得到b的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=

3

2+3x

-3x=

-3(x+1)(3x-1)

2+3x

，
當0≤x＜

1

3

，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；

1

3

＜x≤1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
故f（x）在區(qū)間[0，1]上有極大值f（

1

3

）=ln3-

1

6

；
（2）由|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0，∴x∈[

1

6

，

1

3

]，
則ln

3

2+3x

∈[0，ln

6

5

]，只有當x=

1

3

時，ln

3

2+3x

=0，
這時a=ln

1

3

，|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0不成立，
其它情況都成立，故a的取值范圍是（-∞，-ln3）∪（-ln3，+∞）；
（3）由于f（x）=b-2x，則ln（2+3x）-

3

2

x²+2x-b=0，
令φ（x）=ln（2+3x）-

3

2

x²+2x-b，則φ′（x）=

3

2+3x

-3x+2=

7-9x

2+3x

，
當x∈[0，

7

3

]時，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增；當x∈[

7

3

，1]時，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減．
即有φ（

7

3

）＞φ（0），φ（

7

3

）＞φ（1），φ（0）=ln2-b．
φ（

7

3

）=ln（2+

7

）-

7

6

+

2 7

3

-b＞0，φ（1）=ln5+

1

2

-b≤0，
則ln5+

1

2

≤b＜ln（2+

7

）-

7

6

+

2 7

3

．
即實數(shù)b的取值范圍是[ln5+

1

2

，ln（2+

7

）-

7

6

+

2 7

3

）．

點評：本題主要考查運用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、最值，用函數(shù)法解決方程根的問題，屬于中檔題．