Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2bx²+cx-2的圖象在與x軸交點處的切線方程是y=5x-10．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+

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3

mx，若g（x）的極值存在，求實數(shù)m的取值范圍以及當x取何值時函數(shù)g（x）分別取得極大和極小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由條件可得f（2）=0，求出導數(shù)，可得f′（2）=5，列出b，c的方程，解出即可；
（Ⅱ）求出g（x）的導數(shù)，令g′（x）=0，當g（x）的極值存在時，3x²-4x+1+

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m=0必有實根，由△=4（1-m）≥0，得m≤1．討論m=1，m＜1時g（x）的極值即可．

解答： 解：（Ⅰ）由已知可得切點為（2，0），故有f（2）=0，
即4b+c+3=0①，
又f′（x）=3x²+4bx+c，由已知f′（2）=12+8b+c=5，即8b+c+7=0②
由①②解得c=1，b=-1，
于是函數(shù)解析式為f（x）=x³-2x²+x-2；
（Ⅱ）g（x）=x³-2x²+x-2+

1

3

mx，導數(shù)g′（x）=3x²-4x+1+

1

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m，
令g′（x）=0，當g（x）的極值存在時，3x²-4x+1+

1

3

m=0必有實根，
由△=4（1-m）≥0，得m≤1．
①當m=1時，g′（x）=0有實根x=

2

3

，在x=

2

3

左右兩側(cè)均有g(shù)′（x）＞0，故函數(shù)g（x）無極值．
②當m＜1時，g′（x）=0有兩個實根，x₁=

1

3

（2-

1-m

），x₂=

1

3

（2+

1-m

），
由g′（x）＞0得x＞x₂或x＜x₁；由g′（x）＜0得x₁＜x＜x₂．
故當m＜1時，函數(shù)g（x）有極值：當x=

1

3

（2-

1-m

）時g（x）有極大值；
當x=

1

3

（2+

1-m

）時g（x）有極小值．

點評：本題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．