Question

18．已知△ABC的三邊長為 a、b、c，且其中任意兩邊長均不相等．若a、b、c成等差數(shù)列．
（1）比較$\sqrt{\frac{a}}$與$\sqrt{\frac{c}}$的大小，并證明你的結(jié)論；
（2）求證角B不可能超過$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由條件可得2b=a+c，利用基本不等式可得b²≥ac，再利用分析法即可證明；
（2）由條件得到2b=a+c，再由余弦定理表示出cosB，兩式聯(lián)立消去b，得到關(guān)于a與c的關(guān)系式，整理后利用基本不等式變形，可得出cosB的范圍，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)B為三角形的內(nèi)角，即可求出B的范圍．

解答 解：（1）∵△ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列，∴2b=a+c，
∴b=$\frac{a+c}{2}$≥$\sqrt{ac}$，∴b²≥ac．
要證$\sqrt{\frac{a}}$≥$\sqrt{\frac{c}}$，
只要證$\frac{a}$≥$\frac{c}$，
只要證b²≥ac，
故$\sqrt{\frac{a}}$≥$\sqrt{\frac{c}}$成立
（2）證明：△ABC的三邊a，b，c成等差數(shù)列，∴2b=a+c，
再根據(jù) cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{3（{a}^{2}+{c}^{2}）}{8ac}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{6ac}{8ac}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴B∈（0，$\frac{π}{3}$]，
∴角B不可能超過$\frac{π}{3}$．

點評 此題考查了余弦定理，等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．