Question

13．函數f（x）=（-x²+ax+a）e^x（a＞0，e是自然常數）
（1）當x∈[0，1]時，函數f（x）的最大值是$\frac{\sqrt{e}}{2}$，求a的值；
（2）當x∈（0，1]時，證明：2x³-x²-x＞$\frac{\sqrt{e}（lnx-x）}{{e}^{x}}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區(qū)間，得到函數的最大值，從而求出a的值即可；
（2）問題轉化為（-x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$）e^x＜$\frac{\sqrt{e}}{2}$（1-$\frac{lnx}{x}$），設g（x）=-x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$）e^x，設h（x）=$\frac{\sqrt{e}}{2}$（1-$\frac{lnx}{x}$），根據函數的單調性分別求出其最大值和最小值，從而證出結論．

解答 解：（1）由題意得：f′（x）=-（x+2）（x-a）e^x，
a＞0時，由f′（x）≥0，解得：-2≤x≤a，
∴f（x）在[-2，a]遞增，在（-∞，-2]，[a，+∞）遞減，
a≥1時，f（x）在[0，1]遞增，
∴f（x）_max=f（1）=（2a-1）e=$\frac{\sqrt{e}}{2}$，解得：a=$\frac{1}{4\sqrt{e}}$+$\frac{1}{2}$＜1，不合題意，舍，
0≤a＜1時，f（x）在[0，a]遞增，在[a，1]遞減，
∴f（x）_max=f（a）=ae^a=$\frac{\sqrt{e}}{2}$，解得：a=$\frac{1}{2}$，符合題意，
綜上，存在a=$\frac{1}{2}$，使得x∈[0，1]時，f（x）的最大值是$\frac{\sqrt{e}}{2}$；
（2）當x∈（0，1]時，要證：2x³-x²-x＞$\frac{\sqrt{e}（lnx-x）}{{e}^{x}}$，
即證（-x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$）e^x＜$\frac{\sqrt{e}}{2}$（1-$\frac{lnx}{x}$），
設g（x）=-x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$）e^x，
由（1）可得g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{\sqrt{e}}{2}$，
設h（x）=$\frac{\sqrt{e}}{2}$（1-$\frac{lnx}{x}$），h′（x）=$\frac{\sqrt{e}}{2}$$（\frac{lnx-1}{{x}^{2}}）$，
h（x）在（0，1]遞減，h（x）_min=h（1）=$\frac{\sqrt{e}}{2}$，
∴（-x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$）e^x＜$\frac{\sqrt{e}}{2}$（1-$\frac{lnx}{x}$），
即2x³-x²-x＞$\frac{\sqrt{e}（lnx-x）}{{e}^{x}}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．