Question

3．等腰直角三角形ABC的直角頂點A在x軸的正半軸上，B在y軸的正半軸上，C在第一象限，設∠BAO=θ（O為坐標原點），AB=AC=2，當OC的長取得最大值時，tanθ的值為（　�。�

• A． $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
• B． -1+$\sqrt{5}$
• C． $\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖象過點C做x軸的垂線，由直角三角形的三角函數值、勾股定理表示出OC²，由二倍角公式、兩角和的正弦公式化簡，由正弦函數的最大值求出2θ的值，由誘導公式、商的關系求出tan2θ，由正切的二倍角公式求出tanθ的值．

解答 解由題意畫出圖象如圖所示：
過點C做x軸的垂線，垂足為D，AB=AC=2，
在RT△ABO中，∠BAO=θ，則OA=2cosθ，
∵∠BAC=$\frac{π}{2}$，∴∠ACD=θ，
在RT△ACD中，AD=2sinθ，CD=2cosθ，
∴OD=OA+AD=2（sinθ+cosθ），
則OC²=OD²+CD²=4（1+sin2θ）+4cos²θ
=6+4sin2θ+2cos2θ=6+2$\sqrt{5}$sin（2θ+α），
其中$sinα=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$cosα=\frac{2}{\sqrt{5}}$，
當sin（2θ+α）=1時，OC的長取得最大值，
即$2θ+α=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$，則$2θ=\frac{π}{2}-α+2kπ（k∈Z）$，
∴$sin2θ=cosα=\frac{2}{\sqrt{5}}$，$cos2θ=sinα=\frac{1}{\sqrt{5}}$，
則$tan2θ=\frac{sin2θ}{cos2θ}=2$，
∴$2=\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$，解得tanθ=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，則tanθ=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查二倍角公式、兩角和的正弦公式，同角三角函數的基本關系等，以及正弦函數的性質，熟練掌握公式是解題的關鍵，考查化簡、變形能力．