Question

【題目】若方程有實數根，則稱為函數的一個不動點.已知函數（）.

（1）若，求證：有唯一不動點；

（2）若有兩個不動點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）依題意，令（），利用導數可知在上單調遞減，在上單調遞增，且時，取的最小值0，由此即可得出結論；

（2）先證明，則有兩個不動點等價于函數在上有兩個不同的零點，求出的導數，得到其單調性，得到函數的最小值，即可得到的取值范圍，再證明時，有兩個零點；

解：（1）證明：當時，由得，

令（），

則，易知在上恒成立，

故當時，，在上單調遞減，

當時，，在上單調遞增，

∴，

∴方程有唯一實數根，故有唯一不動點；

（2）先證明，令，則，，當時，，當時，，從而，因此在上單調遞增，故，所以，即，有兩個不動點等價于函數在上有兩個不同的零點，

易知，，當時，，當時，，所以有，所以，即，

下面說明時，有兩個零點，取有，故，取，且，故，又，由零點存在性定理知在存在唯一，使得，在內存在使，綜上有.