Question

13．如圖，四邊形ABCD是半徑為1的半圓O的內(nèi)接矩形，其中A、D在直徑上，Q為弧CB的中點，設(shè)∠BOQ=θ，記f（θ）=$\frac{1}{OA}$+$\frac{1}{AB}$，求f（θ）的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求出OA=sinθ，AB=cosθ，利用換元法，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵∠BOQ=θ，
∴∠ABO=∠BOQ=θ，0＜θ＜$\frac{π}{2}$
則OA=sinθ，AB=cosθ，
則f（θ）=$\frac{1}{OA}$+$\frac{1}{AB}$=$\frac{1}{sinθ}+\frac{1}{cosθ}$=$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$，
設(shè)t=sinθ+cosθ，則t²=1+2sinθcosθ，
即sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜θ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
則1＜t≤$\sqrt{2}$，
則函數(shù)等價為y=h（t）=$\frac{t}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}$=$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，
則函數(shù)在1＜t≤$\sqrt{2}$為減函數(shù)，
∴當(dāng)t=$\sqrt{2}$時，函數(shù)取得最小值，為y=$\frac{2\sqrt{2}}{2-1}$=2$\sqrt{2}$

點評 本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立三角形的邊長關(guān)系，利用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．