Question

【題目】定義域?yàn)?/span>的偶函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)，有，且當(dāng)時(shí)， ，若函數(shù)在上至多有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是

__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），

且f（x）是定義域?yàn)?/span>R的偶函數(shù)，

令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），

又f（﹣1）=f（1），

∴f（1）=0 則有f（x+2）=f（x），

∴f（x）是最小正周期為2的偶函數(shù)．

當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，

函數(shù)的圖象為開(kāi)口向下、頂點(diǎn)為（3，0）的拋物線．

∵函數(shù)y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三個(gè)零點(diǎn)，

令g（x）=loga（|x|+1），則f（x）的圖象和g（x）的圖象至多有3個(gè)交點(diǎn)．

可以分兩種情況：其一是有交點(diǎn)時(shí)，其二是一個(gè)交點(diǎn)也沒(méi)有，

當(dāng)一個(gè)交點(diǎn)都沒(méi)有時(shí)，即a>1.

當(dāng)有交點(diǎn)時(shí)，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，

要使函數(shù)y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至多有三個(gè)零點(diǎn)，

則有g（4）<f（4），可得 loga（4+1）＞f（4）=﹣2，

即loga5<﹣2，∴5>，解得，又0＜a＜1，∴＜a＜1，

故答案為： 。